En un triángulo acutángulo $ABC$ , $AB \neq AC$ , $O$ es su circuncentro. $K$ es la reflexión de $B$ sobre $AC$ y $L$ es la reflexión de $C$ sobre $AB$ . $X$ es un punto dentro de $ABC$ tal que $AX \perp BC, XK=XL$ . Los puntos $Y, Z$ están en $\overline{BK}, \overline{CL}$ respectivamente, satisfaciendo $XY \perp CK, XZ \perp BL$ . Demuestra que $B, C, Y, O, Z$ se encuentran en un círculo.

Dado un conjunto finito $S$ , $P(S)$ denota el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ . Para cualquier $f:P(S)\rightarrow \mathbb{R}$ , demuestra la siguiente desigualdad: $$\sum_{A\in P(S)}\sum_{B\in P(S)}f(A)f(B)2^{\left| A\cap B \right|}\geq 0.$$

Demuestra que si se eligen $4$ números (no necesariamente distintos) de $\{1, 2, \cdots, 20\}$ , se pueden elegir $3$ números entre ellos y se pueden etiquetar estos $3$ como $a, b, c$ tal que $ax \equiv b \;(\bmod\; c)$ tiene soluciones enteras.

Llamemos a una secuencia de enteros positivos $(a_n)_{n \ge 1}$ una 'secuencia CGMO' si $(a_n)_{n \ge 1}$ aumenta estrictamente, y para todos los enteros $n \ge 2022$ , $a_n$ es el entero más pequeño tal que existe un subconjunto no vacío de $\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1} \}$ $A_n$ donde $a_n \cdot \prod\limits_{a \in A_n} a$ es un cuadrado perfecto. Demuestra: existen $c_1, c_2 \in \mathbb{R}^{+}$ s.t. para cualquier 'secuencia CGMO' $(a_n)_{n \ge 1}$ , existe un entero positivo $N$ que satisface cualquier $n \ge N$ , $c_1 \cdot n^2 \le a_n \le c_2 \cdot n^2$ .

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ , tal que se pueda colorear cada celda de una cuadrícula de $n \times n$ en rojo, amarillo o azul con todas las siguientes condiciones satisfechas: (1) el número de celdas coloreadas en cada color es el mismo; (2) si una fila contiene una celda roja, esa fila debe contener una celda azul y no puede contener una celda amarilla; (3) si una columna contiene una celda azul, debe contener una celda roja pero no puede contener una celda amarilla.

En un triángulo acutángulo $ABC$ ( $AB \neq AC$ ) , $I$ es su incentro y $J$ es el $A$ - excentro. $X, Y$ están en los arcos menores $\widehat{AB}$ y $\widehat{AC}$ respectivamente, tal que $\angle{AXI}=\angle{AYJ}=90^{\circ}$ . $K$ está en la línea $BC$ tal que $KI=KJ$ . Demuestra que la línea $AK$ biseca a $\overline{XY}$ .

Sea $n \in \mathbb{N}^+,$ $x_1,x_2,...,x_{n+1},p,q\in \mathbb{R}^+ $ , $p<q$ y $x^p_{n+1}>\sum_{i=1}^{n}x^p_{i}.$ Demuestra que $(1)x^q_{n+1}>\sum_{i=1}^{n}x^q_{i};$ $(2)\left(x^p_{n+1}-\sum_{i=1}^{n}x^p_{i}\right)^{\frac{1}{p}}<\left(x^q_{n+1}-\sum_{i=1}^{n}x^q_{i}\right)^{\frac{1}{q}}.$

Marque $4 \cdot k$ puntos en un círculo y numérelos arbitrariamente con números del $1$ al $4 \cdot k$ . Las cuerdas no pueden compartir puntos finales comunes, además, los puntos finales de estas cuerdas deben estar entre los $4 \cdot k$ puntos.\ni. Demuestre que se pueden dibujar $2 \cdot k$ cuerdas por pares no intersecantes para cada uno de los cuales sus puntos finales difieren en a lo sumo $3 \cdot k - 1$ .\nii. Demuestre que el $3 \cdot k - 1$ no se puede mejorar.

Sean $x_i,$ $1 \leq i \leq n$ números reales con $n \geq 3.$ Sean $p$ y $q$ su suma simétrica de grado $1$ y $2$ respectivamente. Demuestre que:\ni) $p^2 \cdot \frac{n-1}{n}-2q \geq 0$\nii) $\left|x_i - \frac{p}{n}\right| \leq \sqrt{p^2 - \frac{2nq}{n-1}} \cdot \frac{n-1}{n}$ para cada $i$ significativo.

Dado un tetraedro $ABCD$ , $E$ , $F$ , $G$ , están respectivamente en los segmentos $AB$ , $AC$ y $AD$ . Demuestre que:\ni) area $EFG \leq$ max{area $ABC$ , area $ABD$ , area $ACD$ , area $BCD$ } .\nii) Lo mismo que arriba reemplazando 'área' por 'perímetro'.