Olimpiada China Segunda Ronda 2006 Problema 7
Dado un prisma triangular recto $A_1B_1C_1 - ABC$ con $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$ y $AB = AC = AA_1$ , sean $G$ , $E$ los puntos medios de $A_1B_1$ , $CC_1$ respectivamente, y $D$ , $F$ sean puntos variables que se encuentran en los segmentos $AC$ , $AB$ (sin incluir los puntos finales) respectivamente. Si $GD \bot EF$ , el rango de la longitud de $DF$ es
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Olimpiada China Segunda Ronda 2006 Problema 6
Suponga que $A = {x|5x-a \le 0}$ , $B = {x|6x-b > 0}$ , $a,b \in \mathbb{N}$ , y $A \cap B \cap \mathbb{N} = {2,3,4}$ . El número de tales pares $(a,b)$ es
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Olimpiada China Segunda Ronda 2006 Problema 5
Suponga que $log_x (2x^2+x-1)>log_x 2-1$ . Entonces el rango de $x$ es
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Olimpiada China Segunda Ronda 2006 Problema 4
Sea $\triangle ABC$ un triángulo dado. Si $|BA-tBC| \ge |AC|$ para cualquier $t \in \mathbb{R}$ , entonces $\triangle ABC$ es
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Olimpiada China Segunda Ronda 2006 Problema 3
Resuelva el sistema de ecuaciones en números reales: \[ \begin{cases} x-y+z-w=2 \\ x^2-y^2+z^2-w^2=6 \\ x^3-y^3+z^3-w^3=20 \\ x^4-y^4+z^4-w^4=66 \end{cases} \]
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Olimpiada China Segunda Ronda 2006 Problema 2
Sean $x,y$ números reales. Defina una secuencia $\{a_n \}$ a través de la fórmula recursiva \[ a_0=x,a_1=y,a_{n+1}=\frac{a_na_{n-1}+1}{a_n+a_{n-1}},\] Encuentre $a_n$ .
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Olimpiada China Segunda Ronda 2006 Problema 1
Una elipse con focos $B_0,B_1$ intersecta $AB_i$ en $C_i$ $(i=0,1)$ . Sea $P_0$ un punto en el rayo $AB_0$ . $Q_0$ es un punto en el rayo $C_1B_0$ tal que $B_0P_0=B_0Q_0$ ; $P_1$ está en el rayo $B_1A$ tal que $C_1Q_0=C_1P_1$ ; $Q_1$ está en el rayo $B_1C_0$ tal que $B_1P_1=B_1Q_1$ ; $P_2$ está en el rayo $AB_0$ tal que $C_0Q_1=C_0Q_2$ . Pruebe que $P_0=P_2$ y que los cuatro puntos $P_0,Q_0,Q_1,P_1$ son concíclicos.
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Olimpiada Nacional China 1999 Problema 6
Un cubo de $4\times4\times4$ está compuesto por $64$ cubos unitarios. Las caras de $16$ cubos unitarios deben colorearse de rojo. Una coloración se llama interesante si hay exactamente $1$ cubo unitario rojo en cada caja rectangular de $1\times1\times 4$ compuesta por $4$ cubos unitarios. Determine el número de coloraciones interesantes.
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Olimpiada Nacional China 1999 Problema 5
Determine el valor máximo de $\lambda$ tal que si $f(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$ es un polinomio cúbico con todas sus raíces no negativas, entonces \[f(x)\geq\lambda(x -a)^3\] para todo $x\geq0$. Encuentre la condición de igualdad.
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Olimpiada Nacional China 1999 Problema 4
Sea $m$ un entero positivo. Demuestre que existen enteros $a, b, k$, tales que tanto $a$ como $b$ son impares, $k\geq0$ y \[2m=a^{19}+b^{99}+k\cdot2^{1999}\]
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