Dado $I=[0,1]$ y $G=\{(x,y)|x,y \in I\}$ , encuentre todas las funciones $f:G\rightarrow I$ , tales que $\forall x,y,z \in I$ tenemos: i. $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ ; ii. $f(x,1)=x, f(1,y)=y$ ; iii. $f(zx,zy)=z^kf(x,y)$ . ( $k$ es un número real positivo irrelevante para $x,y,z$ . )

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ en el plano. ( i ) Si existe un punto $P$ en el plano tal que las áreas de $\triangle ABP, \triangle BCP, \triangle CDP, \triangle DAP$ son iguales, ¿qué condición debe satisfacer el cuadrilátero $ABCD$? ( ii ) Encuentre (con prueba) el número máximo posible de tales puntos $P$ que satisfacen la condición en ( i ).

Sea $P$ un $99$ -gono regular. Asigne enteros entre $1$ y $99$ a los vértices de $P$ tal que cada entero aparezca exactamente una vez. (Si dos asignaciones coinciden bajo rotación, tráteselas como la misma). Una operación es un intercambio de los enteros asignados a un par de vértices adyacentes de $P$ . Encuentre el entero más pequeño $n$ tal que se pueda lograr cualquier otra asignación a partir de una dada con no más de $n$ operaciones.

En un triángulo acutángulo $\triangle {ABC}$ , ${K}$ está en la extensión del segmento $BC$ . $P, Q$ son dos puntos tales que $KP \parallel AB, BK=BP$ y $KQ\parallel AC, CK=CQ$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle KPQ$ interseca a $AK$ nuevamente en ${T}$ . Pruebe que: (1) $\angle BTC+\angle APB=\angle CQA$ . (2) $AP \cdot BT \cdot CQ=AQ \cdot CT \cdot BP$ .

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_{2023}$ números reales no negativos tales que $a_1 + a_2 + \ldots + a_{2023} = 100$ . Sea $A = \left\{ (i,j) \mid 1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 2023, \, a_ia_j \geqslant 1 \right\}$ . Pruebe que $|A| \leqslant 5050$ y determine cuándo se cumple la igualdad.

Sea $p \geqslant 5$ un primo y $S = \left\{ 1, 2, \ldots, p \right\}$ . Define $r(x,y)$ como sigue: \[ r(x,y) = \begin{cases} y - x & y \geqslant x \\ y - x + p & y < x \end{cases}.\] Para un subconjunto propio no vacío $A$ de $S$ , sea $$f(A) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in A} \left( r(x,y) \right)^2.$$ Un subconjunto bueno de $S$ es un subconjunto propio no vacío $A$ que satisface que para todos los subconjuntos $B \subseteq S$ del mismo tamaño que $A$ , $f(B) \geqslant f(A)$ . Encuentre el entero más grande $L$ tal que existen subconjuntos buenos distintos $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots \subseteq A_L$ .

Encuentre el número real más grande $c$ tal que $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(n-|i-j|)x_ix_j \geq c\sum_{j=1}^{n}x^2_i$$ para cualquier entero positivo $n $ y cualquier número real $x_1,x_2,\dots,x_n.$

Encuentre el $\lambda \in \mathbb{R}$ más pequeño tal que para todo $n \in \mathbb{N}_+$ , existe $x_1, x_2, \ldots, x_n$ que satisface $n = x_1 x_2 \ldots x_{2023}$ , donde $x_i$ es un primo o un entero positivo que no excede $n^\lambda$ para todo $i \in \left\{ 1,2, \ldots, 2023 \right\}$ .

Dado un entramado de triángulos equiláteros compuesto por $\frac{n(n+1)}{2}$ puntos (como se muestra en la figura), registre el número de triángulos equiláteros con tres puntos en el entramado como vértices como $f(n)$ . Encuentre una expresión para $f(n)$ .

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y $c$ la longitud de la hipotenusa. Encuentre el valor mínimo de $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ .