Sea $p \geqslant 5$ un primo y $S = \left\{ 1, 2, \ldots, p \right\}$ . Define $r(x,y)$ como sigue: \[ r(x,y) = \begin{cases} y - x & y \geqslant x \\ y - x + p & y < x \end{cases}.\] Para un subconjunto propio no vacío $A$ de $S$ , sea $$f(A) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in A} \left( r(x,y) \right)^2.$$ Un subconjunto bueno de $S$ es un subconjunto propio no vacío $A$ que satisface que para todos los subconjuntos $B \subseteq S$ del mismo tamaño que $A$ , $f(B) \geqslant f(A)$ . Encuentre el entero más grande $L$ tal que existen subconjuntos buenos distintos $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots \subseteq A_L$ .