Suponga que $n$ es un entero positivo y el entero $a$ es la raíz de la ecuación $$x^4+3ax^2+2ax-2\times 3^n=0.$$ Encuentre todos los $n$ y $ a$ que satisfagan las condiciones.

Como se muestra en la figura , se sabe que $ABCD$ es un paralelogramo, $A,B,C$ se encuentran en el círculo $\odot O_1$ , $AD$ y $BD$ intersecan a $\odot O$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente, $C,D,F$ se encuentran en el círculo $\odot O_2$ , $AD$ interseca a $\odot O_2$ en el punto $G$ . Si los radios de los círculos $\odot O_1$ , $\odot O_2$ son $R_1, R_2$ respectivamente, demuestre que $\frac{EG}{AD}=\frac{R_2^2}{R_1^2}$ .

Demuestre que: (1) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el factor primo más grande de $n^2+1$ es menor que $n.$ (2) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ divide a $n!$ .

La tabla de números triangulares dada es la siguiente: \n\nEntre ellos, los números en la primera fila son $1, 2, 3, ..., 98, 99, 100$ . A partir de la segunda fila, cada número es igual a la suma de los números de la izquierda y la derecha en la fila superior. Encuentre el valor de $M$ .

En $\triangle ABC$ , demuestre que \[\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}}{\sqrt{3}}\geq\sqrt[6]{tan^2\frac{A}{2}+tan^2\frac{B}{2}+tan^2\frac{C}{2}}.\]

Como se muestra en la figura, $\odot O$ es el círculo inscrito del trapecio $ABCD$ , y los puntos tangentes son $E, F, G, H$ , $AB \parallel CD$ . La línea que pasa por $B$ , paralela a $AD$ interseca la extensión de $DC$ en el punto $P$ . La extensión de $AO$ interseca a $CP$ en el punto $Q$ . Si $AE=BE$ , demuestre que $\angle CBQ = \angle PBQ$ .

Determine el número de cuádruples ordenados $(x, y, z, u)$ de enteros, tales que $\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{y-z}{y+z}+\dfrac{z-u}{z+u}>0 \textrm{ y } 1\le x,y,z,u\le 10$.

Se lleva a cabo un torneo entre $n$ equipos, siguiendo tales reglas: a) cada equipo juega contra todos los demás una vez en casa y una vez fuera. (es decir, un calendario de doble round-robin) b) cada equipo puede participar en varios partidos fuera de casa en una semana (de domingo a sábado). c) no hay acuerdo de partido fuera de casa para un equipo, si tiene un partido en casa en la misma semana. Si el torneo termina en 4 semanas, determine el valor máximo de $n$ .

ABC es un triángulo isósceles con AB=AC. El punto D se encuentra en el lado BC. El punto F está dentro de $\triangle$ A BC y se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo ADC. La circunferencia circunscrita del triángulo BDF interseca el lado AB en el punto E. Demuestre que $CD\cdot EF+DF\cdot AE=BD\cdot AF$ .

Para $\theta\in[0, \dfrac{\pi}{2}]$ , la siguiente desigualdad $\sqrt{2}(2a+3)\cos(\theta-\dfrac{\pi}{4})+\dfrac{6}{\sin\theta+\cos\theta}-2\sin2\theta<3a+6$ siempre es verdadera. Determine el rango de $a$ .