¿Se pueden hacer que $2015$ enteros positivos $1,2, \ldots , 2015$ sean una cierta permutación que se puede ordenar en el círculo de tal manera que la suma de dos números adyacentes sea un múltiplo de $4$ o un múltiplo de $7$ ?

Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$ con $AB>AC$ . Sea $\Gamma$ el círculo con diámetro $AI$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ interseca a $\Gamma$ en los puntos $A,D$ , con el punto $D$ situado en el $\overarc{AC}$ (que no contiene a $B$ ) . Sea la recta que pasa por $A$ y es paralela a $BC$ interseca a $\Gamma$ en los puntos $A,E$ . Si $DI$ es la bisectriz del ángulo $\angle CDE$ , y $\angle ABC = 33^{\circ}$ , halle el valor de $\angle BAC$ .

Suponga que la secuencia $\{a_n\}$ satisface $a_1=1$ y $a_{2k}=a_{2k-1}+a_k, \quad a_{2k+1}=a_{2k}$ para $k=1,2, \ldots$ Demuestre que $a_{2^n}< 2^{\frac{n^2}{2}}$ para cualquier entero $n \geq 3$ .

Para enteros $0\le a\le n$ , sea $f(n,a)$ el número de coeficientes en la expansión de $(x+1)^a(x+2)^{n-a}$ que es divisible por $3.$ Por ejemplo, $(x+1)^3(x+2)^1=x^4+5x^3+9x^2+7x+2$ , entonces $f(4,3)=1$ . Para cada entero positivo $n$ , sea $F(n)$ el mínimo de $f(n,0),f(n,1),\ldots ,f(n,n)$ . (1) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $F(n)\ge \frac{n-1}{3}$ . (2) Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ , $F(n)\le \frac{n-1}{3}$ .

En una hoja de papel en blanco, se dan dos puntos con una distancia de $1$. Demuestre que se puede usar (solo) regla y compás para construir en este papel una línea recta, y dos puntos en ella cuya distancia es $\sqrt{2021}$ tal que, en el proceso de construcción, el número total de círculos o líneas rectas dibujadas es a lo sumo $10.$ Observación: Se deben dar los pasos explícitos de la construcción. Etiquete los círculos y las líneas rectas en el orden en que aparecen. Se puede otorgar crédito parcial dependiendo del número total de círculos/líneas.

Una conferencia es atendida por $n (n\ge 3)$ científicos. Cada científico tiene algunos amigos en esta conferencia (la amistad es mutua y nadie es amigo de sí mismo). Suponga que no importa cómo dividamos a los científicos en dos grupos no vacíos, siempre existen dos científicos en el mismo grupo que son amigos, y siempre existen dos científicos en diferentes grupos que son amigos. Se presenta una propuesta en el primer día de la conferencia. La opinión de cada uno de los científicos sobre la propuesta puede expresarse como un entero no negativo. Cada día a partir del segundo día en adelante, la opinión de cada científico se cambia a la parte entera del promedio de las opiniones de sus amigos del día anterior. Demuestre que después de un período de tiempo, todos los científicos tienen la misma opinión sobre la propuesta.

Encuentra todos los enteros positivos $a$ tales que existe un conjunto $X$ de $6$ enteros que satisfacen las siguientes condiciones: para cada $k=1,2,\ldots ,36$ existen $x,y\in X$ tales que $ax+y-k$ es divisible por $37$.

Encuentra el número real más grande $\lambda$ con la siguiente propiedad: para cualquier número real positivo $p,q,r,s$ existe un número complejo $z=a+bi$ ( $a,b\in \mathbb{R})$ tal que $$ |b|\ge \lambda |a| \quad \text{y} \quad (pz^3+2qz^2+2rz+s) \cdot (qz^3+2pz^2+2sz+r) =0.$$

Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos, y $AB$ un segmento de longitud $a$ en un plano. Sean $C,D$ dos puntos variables en el plano tales que $ABCD$ es un cuadrilátero convexo no degenerado con $BC=CD=b$ y $DA=a$. Es fácil ver que existe un círculo tangente a los cuatro lados del cuadrilátero $ABCD$. Encuentra el lugar geométrico preciso del punto $I$.

Para enteros positivos $k,m$ , donde $1\le k\le 5$ , define la función $f(m,k)$ como \[f(m,k)=\sum_{i=1}^{5}\left[m\sqrt{\frac{k+1}{i+1}}\right]\] donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . Demuestra que para cualquier entero positivo $n$ , existen enteros positivos $k,m$ , donde $1\le k\le 5$ , tal que $f(m,k)=n$ .