Pruebe que existe $C>0$ , que satisface la siguiente conclusión: Para cualquier secuencia aritmética entera positiva infinita $a_1, a_2, a_3,\cdots$ , si el máximo común divisor de $a_1$ y $a_2$ es libre de cuadrados, entonces existe un entero positivo $m\le C\cdot {a_2}^2$ , tal que $a_m$ es libre de cuadrados. Nota: Un entero positivo $N$ es libre de cuadrados si no es divisible por ningún número cuadrado mayor que $1$ .

Encuentre el entero positivo mínimo $n\ge 3$ , tal que existan $n$ puntos $A_1,A_2,\cdots, A_n$ satisfaciendo que no haya tres puntos colineales y para cualquier $1\le i\le n$ , exista $1\le j \le n (j\neq i)$ , el segmento $A_jA_{j+1}$ pasa a través del punto medio del segmento $A_iA_{i+1}$ , donde $A_{n+1}=A_1$

Dados enteros positivos $m,n$ , coloree los puntos del $(2m+2n)$ - gono regular en blanco y negro, $2m$ en negro y $2n$ en blanco. La distancia de coloración $d(B,C) $ de dos puntos negros $B,C$ se define como el número menor de puntos blancos en los dos caminos que unen los dos puntos negros. La distancia de coloración $d(W,X) $ de dos puntos blancos $W,X$ se define como el número menor de puntos negros en los dos caminos que unen los dos puntos blancos. Definimos el emparejamiento de puntos negros $\mathcal{B}$ : etiquete los $2m$ puntos negros con $A_1,\cdots,A_m,B_1,\cdots,B_m$ satisfaciendo que ningún $A_iB_i$ se interseca dentro del gono. Definimos el emparejamiento de puntos blancos $\mathcal{W}$ : etiquete los $2n$ puntos blancos con $C_1,\cdots,C_n,D_1,\cdots,D_n$ satisfaciendo que ningún $C_iD_i$ se interseca dentro del gono. Definimos $P(\mathcal{B})=\sum^m_{i=1}d(A_i,B_i), P(\mathcal{W} )=\sum^n_{j=1}d(C_j,D_j) $ . Pruebe que: $\max_{\mathcal{B}}P(\mathcal{B})=\max_{\mathcal{W}}P(\mathcal{W})$

Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero de lado 1. Sean $D,E,F$ puntos en $BC,AC,AB$ respectivamente, tales que $\frac{DE}{20} = \frac{EF}{22} = \frac{FD}{38}$ . Sean $X,Y,Z$ en las líneas $BC,CA,AB$ respectivamente, tales que $XY\perp DE, YZ\perp EF, ZX\perp FD$ . Encuentre todos los valores posibles de $\frac{1}{[DEF]} + \frac{1}{[XYZ]}$ .

Defina las secuencias $(a_n),(b_n)$ por \n\begin{align*}\n& a_n, b_n > 0, \forall n\in\mathbb{N_+} \\\n& a_{n+1} = a_n - \frac{1}{1+\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}} \\\n& b_{n+1} = b_n + \frac{1}{1+\sum_{i=1}^n\frac{1}{b_i}}\n\end{align*} 1) Si $a_{100}b_{100} = a_{101}b_{101}$ , encuentre el valor de $a_1-b_1$ ; 2) Si $a_{100} = b_{99}$ , determine cuál es mayor entre $a_{100}+b_{100}$ y $a_{101}+b_{101}$ .

Sea $n$ un entero positivo. $f(n)$ denota el número de números de $n$ dígitos $\overline{a_1a_2\cdots a_n}$ (números de onda) que satisfacen las siguientes condiciones : (i) para cada $a_i \in\{1,2,3,4\}$ , $a_i \not= a_{i+1}$ , $i=1,2,\cdots$ ; (ii) para $n\ge 3$ , $(a_i-a_{i+1})(a_{i+1}-a_{i+2})$ es negativo, $i=1,2,\cdots$ . (1) Encuentre el valor de $f(10)$ ; (2) Determine el resto de $f(2008)$ al dividirlo por $13$ .

El Capitán Jack y sus piratas saquearon seis cofres de tesoro $(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6)$ . Cada cofre $A_i$ contiene $a_i$ monedas de oro, y todos los $a_i$ son distintos por pares $(i=1,2,\cdots ,6)$ . Colocan todos los cofres de acuerdo con un diseño (ver el adjunto) y comienzan a sacar alternativamente un cofre a la vez entre el capitán y un pirata que sirve como delegado de los hombres del capitán. Una regla debe cumplirse durante el juego: solo se pueden sacar aquellos cofres que no sean adyacentes a otros dos o más cofres. El capitán ganará el juego si las monedas de oro que obtiene no son menores que las de sus hombres al final. Sea concedido al capitán tomar el cofre en primer lugar, ¿existe una cierta estrategia para que asegure su victoria?

El círculo $I$ es el incírculo de $\triangle ABC$ . El círculo $I$ es tangente a los lados $BC$ y $AC$ en $M,N$ respectivamente. $E,F$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Las líneas $EF, BI$ se intersecan en $D$ . Demuestre que $M,N,D$ son colineales.

Sea $\lambda$ un número real positivo. La desigualdad $|\lambda xy+yz|\le \dfrac{\sqrt5}{2}$ se cumple para números reales arbitrarios $x, y, z$ que satisfacen $x^2+y^2+z^2=1$ . Encuentre el valor máximo de $\lambda$ .

Sean $m, n$ enteros positivos $(m, n>=2)$ . Dado un conjunto $A$ de $n$ elementos de enteros $(A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\})$ , para cada par de elementos $a_i, a_j(j>i)$ , hacemos una diferencia por $a_j-a_i$ . Todas estas $C^2_n$ diferencias forman una secuencia ascendente llamada 'secuencia derivada' del conjunto $A$ . Sea $\bar{A}$ denota la secuencia derivada del conjunto $A$ . Sea $\bar{A}(m)$ denota el número de términos divisibles por $m$ en $\bar{A}$ . Demuestre que $\bar{A}(m)\ge \bar{B}(m)$ donde $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ y $B=\{1,2,\cdots ,n\}$ .