Se dice que el conjunto de enteros no vacíos $A$ es 'elegante' si para cualquier $a\in A,$ $1\leq k\leq 2023,$ $$\left| \left\{ b\in A:\left\lfloor\frac b{3^k}\right\rfloor =\left\lfloor\frac a{3^k}\right\rfloor\right\}\right| =2^k.$$ Pruebe que si la intersección del conjunto de enteros $S$ y cualquier conjunto 'elegante' no es vacía , entonces $S$ contiene un conjunto 'elegante'.

Encuentre el mayor entero positivo $m$ que hace posible colorear varias celdas de una tabla de $70\times 70$ de rojo tal que No haya dos celdas rojas que satisfagan: las dos filas en las que están tienen el mismo número de celdas rojas, mientras que las dos columnas en las que están también tienen el mismo número de celdas rojas; Hay dos filas con exactamente $m$ celdas rojas cada una.

En ${}\triangle ABC$ acutángulo no isósceles, $AP$ , $BQ$ , $CR$ es la altura del triángulo. $A_1$ es el punto medio de $BC$ , $AA_1$ intersecta a $QR$ en $K$ , $QR$ intersecta una recta que cruza ${A}$ y es paralela a $BC$ en el punto ${D}$ , la recta que conecta el punto medio de $AH$ y ${K}$ intersecta a $DA_1$ en $A_2$ . Similarmente defina $B_2$ , $C_2$ . ${}\triangle A_2B_2C_2$ se sabe que no es degenerado, y su círculo circunscrito es $\omega$ . Pruebe que: hay círculos $\odot A'$ , $\odot B'$ , $\odot C'$ tangentes a e INTERIORES a $\omega$ que satisfacen: (1) $\odot A'$ es tangente a $AB$ y $AC$ , $\odot B'$ es tangente a $BC$ y $BA$ , y $\odot C'$ es tangente a $CA$ y $CB$ . (2) $A'$ , $B'$ , $C$ ' son diferentes y colineales.

Dado el entero $n\geq 2$ y un entero ${a}$ , que es coprimo con ${n}$ . Un país tiene ${n}$ islas $D_1$ , $D_2$ , $\cdots$ , $D_n$ . Para cualquier $1\leq i\neq j\leq n$ , hay un ferry de una sola vía $D_i$ a $D_j$ si y solo si $ij\equiv ia\pmod n$ . Un turista puede volar inicialmente a cualquiera de las islas, y luego solo puede tomar un ferry de una sola vía. ¿Cuál es el número máximo de islas que puede visitar?

Pruebe que: (1) En el plano complejo, cada recta (excepto el eje real) que cruza el origen tiene como máximo un punto ${z}$ , que satisface $$\frac {1+z^{23}}{z^{64}}\in\mathbb R.$$ (2) Para cualquier número complejo no nulo ${a}$ y cualquier número real $\theta$ , la ecuación $1+z^{23}+az^{64}=0$ tiene raíces en $$S_{\theta}=\left\{ z\in\mathbb C\mid\operatorname{Re}(ze^{-i\theta })\geqslant |z|\cos\frac{\pi}{20}\right\}.$$

Sea $\triangle ABC$ un triángulo, y sean $P_1,\cdots,P_n$ puntos dentro donde no hay tres puntos dados que sean colineales. Pruebe que podemos particionar $\triangle ABC$ en $2n+1$ triángulos tales que sus vértices están entre $A,B,C,P_1,\cdots,P_n$ , y al menos $n+\sqrt{n}+1$ de ellos contienen al menos uno de $A,B,C$ .

Dados $m,n\in\mathbb N_+,$ defina $$S(m,n)=\left\{(a,b)\in\mathbb N_+^2\mid 1\leq a\leq m,1\leq b\leq n,\gcd (a,b)=1\right\}.$$ Pruebe que: para $\forall d,r\in\mathbb N_+,$ existen $m,n\in\mathbb N_+,m,n\geq d$ y $\left|S(m,n)\right|\equiv r\pmod d.$

(1) Sean $a,b$ enteros positivos coprimos. Pruebe que existen constantes $\lambda$ y $\beta$ tales que para todos los enteros $m$ , $$\left| \sum\limits_{k=1}^{m-1} \left\{ \frac{ak}{m} \right\}\left\{ \frac{bk}{m} \right\} - \lambda m \right| \le \beta$$ (2) Pruebe que existe $N$ tal que para todo $p>N$ (donde $p$ es un número primo), y cualesquiera enteros positivos $a,b,c$ que satisfacen $p\nmid (a+b)(b+c)(c+a)$ , hay al menos $\lfloor \frac{p}{12} \rfloor$ soluciones $k\in \{1,\cdots,p-1\}$ tales que $$ \left\{\frac{ak}{p}\right\} + \left\{\frac{bk}{p}\right\} + \left\{\frac{ck}{p}\right\} \le 1 $$.

$n$ personas asisten a una fiesta. No hay más de $n$ pares de amigos entre ellos. Dos personas se dan la mano si y solo si tienen al menos $1$ amigo en común. Dado un entero $m\ge 3$ tal que $n\leq m^3$ . Pruebe que existe una persona $A$ , el número de personas que le dan la mano a $A$ no es mayor que $m-1$ veces el número de amigos de $A$.

Dado un entero $n \geqslant 2$ . Suponga que hay un punto $P$ dentro de un $2n$ - gon cíclico convexo $A_1 \ldots A_{2n}$ que satisface $$\angle PA_1A_2 = \angle PA_2A_3 = \ldots = \angle PA_{2n}A_1,$$ pruebe que $$ \prod_{i=1}^{n} \left|A_{2i - 1}A_{2i} \right| = \prod_{i=1}^{n} \left|A_{2i}A_{2i+1} \right|,$$ donde $A_{2n + 1} = A_1$ .