Sean $m,n$ enteros mayores que 1 , $m \geq n$ , $a_1,a_2,\dots,a_n$ son $n$ números distintos que no exceden $m$ , que son relativamente primos. Demuestra que para cualquier real $x$ , existe $i$ para el cual $||a_ix|| \geq \frac{2}{m(m+1)} ||x||$ , donde $||x||$ denota la distancia entre $x$ y el entero más cercano a $x$.

Cada cuadrado de una cuadrícula de $33\times 33$ se colorea con uno de los tres colores: rojo, amarillo o azul, de modo que los números de cuadrados en cada color son los mismos. Si dos cuadrados que comparten un borde común son de diferentes colores, llame a ese borde común un borde separador. Encuentra el número mínimo de bordes separadores en la cuadrícula.

Dada una secuencia $\{a_n\}$ : $a_1=1, a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{lcr} a_n+n,\quad a_n\le n, \\ a_n-n,\quad a_n>n, \end{array} \right.\n\quad n=1,2,\cdots.$ Encuentra el número de enteros positivos $r$ que satisfacen $a_r<r\le 3^{2017}$.

Dado un triángulo isósceles $ABC$ con lados iguales $AB=AC$ y incentro $I$. Sea $\Gamma_1$ el círculo centrado en $A$ con radio $AB$, $\Gamma_2$ el círculo centrado en $I$ con radio $BI$. Un círculo $\Gamma_3$ que pasa por $B,I$ interseca a $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ nuevamente en $P,Q$ (diferente de $B$) respectivamente. Sea $R$ la intersección de $PI$ y $BQ$. Demuestra que $BR \perp CR$.

Sean $x_1,x_2,x_3\geq 0$ y $x_1+x_2+x_3=1$. Encuentra el valor mínimo y el valor máximo de $(x_1+3x_2+5x_3)\left(x_1+\frac{x_2}{3}+\frac{x_3}{5}\right).$

Dada una secuencia $\{a_n\}$ : $a_1=1, a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{lcr} a_n+n,\quad a_n\le n, \\ a_n-n,\quad a_n>n, \end{array} \right.\n\quad n=1,2,\cdots.$ Encuentra el número de enteros positivos $r$ que satisfacen $a_r<r\le 3^{2017}$.

Un entero positivo $m$ se llama un entero hermoso si existe un entero positivo $n$ tal que $m = n^2+ n + 1$ . Demuestra que existen infinitos enteros hermosos con factores cuadrados, y los factores cuadrados de diferentes enteros hermosos son primos relativos.

Dado un grafo finito $G$ , sea $f(G)$ el número de triángulos en el grafo $G$ , $g(G)$ el número de aristas en el grafo $G$ , encuentra la constante mínima $c$ , tal que para cada grafo $G$ , existe $f^ 2(G)\le c \cdot g^3(G)$ .

Dada la secuencia $(a_n) $ que satisface $1=a_1< a_2 < a_3< \cdots<a_n $ y existe un número real $m$ tal que $$\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \sqrt[3]{\frac{a_{i+1}-a_i}{(2+a_i)^4}}\leq m $$ para cualquier entero positivo $ n $ no menor que 2 . Encuentra el mínimo de $m.$

Encuentra todas las soluciones de la ecuación $$\sin\pi \sqrt x+\cos\pi \sqrt x=(-1)^{\lfloor \sqrt x \rfloor }$$