Sea $ ABC$ un triángulo. Los puntos $ D$ y $ E$ están en los lados $ AB$ y $ AC,$ respectivamente, y el punto $ F$ está en el segmento de línea $ DE.$ Sea $ \frac {AD}{AB} = x,$ $ \frac {AE}{AC} = y,$ $ \frac {DF}{DE} = z.$ Demostrar que (1) $ S_{\triangle BDF} = (1 - x)y z S_{\triangle ABC}$ y $ S_{\triangle CEF} = x(1 - y) (1 - z)S_{\triangle ABC};$ (2) $ \sqrt [3]{S_{\triangle BDF}} + \sqrt [3]{S_{\triangle CEF}} \leq \sqrt [3]{S_{\triangle ABC}}.$

Sea $ABC$ un triángulo y su bisectriz en $A$ corta su circuncírculo en $D.$ Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC,$ $M$ el punto medio de $BC,$ $P$ es el simétrico a $I$ con respecto a $M$ (Asumiendo que $P$ está en el circuncírculo). Extiende $DP$ hasta que corte el circuncírculo nuevamente en $N.$ Demuestra que entre los segmentos $AN, BN, CN$ , hay un segmento que es la suma de los otros dos.

Sea $S = \{(x,y) | x = 1, 2, \ldots, 1993, y = 1, 2, 3, 4\}$ . Si $T \subset S$ y no hay cuadrados en $T.$ Encuentra el máximo valor posible de $|T|.$ Los cuadrados en T usan puntos en S como vértices.

Encuentra todas las soluciones enteras para $2 x^4 + 1 = y^2.$

Se da un grafo $G=(V,E)$. Si al menos $n$ colores son requeridos para pintar sus vértices de manera que entre dos vértices del mismo color no haya una arista conectada, entonces llama a este grafo ' ' $n-$ coloreado''. Demuestra que para cualquier $n \in \mathbb{N}$ , existe un grafo $n-$ coloreado sin triángulos.

Sean $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$ , $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ , $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} < 1$ y $a + c \leq n,$ encuentra el valor máximo de $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ para $n$ fijo.

Para todos los primos $p \geq 3,$ define $F(p) = \sum^{\frac{p-1}{2}}_{k=1}k^{120}$ y $f(p) = \frac{1}{2} - \left\{ \frac{F(p)}{p} \right\}$ , donde $\{x\} = x - [x],$ encuentra el valor de $f(p).$

$\forall n \in \mathbb{N}$ , $P(n)$ denota el número de particiones de $n$ como la suma de enteros positivos (sin tener en cuenta el orden de las partes), por ejemplo, como $4 = 1+1+1+1 = 1+1+2 = 1+3 = 2+2 = 4$ , entonces $P(4)=5$ . La 'Dispersión' de una partición denota el número de partes diferentes en esa partición. Y denotamos que $q(n)$ es la suma de todas las dispersiones, por ejemplo, $q(4)=1+2+2+1+1=7$ . $n \geq 1$ . Demuestra que (1) $q(n) = 1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i).$ (2) $1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i) \leq \sqrt{2} \cdot n \cdot P(n)$ .

$1989$ círculos iguales se colocan arbitrariamente sobre la mesa sin superponerse. ¿Cuál es el menor número de colores que se necesitan para que todos los círculos se puedan pintar con dos círculos tangenciales coloreados de manera diferente?

$AD$ es la altura sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ . Si $BC+AD-AB-AC = 0$ , encuentra el rango de $\angle BAC$ . Formulación alternativa. Sea $AD$ la altura del triángulo $ABC$ al lado $BC$ . Si $BC+AD=AB+AC$ , entonces encuentra el rango de $\angle{A}$ .