Para un entero positivo dado $n\ge 2$ , suponga que los enteros positivos $a_i$ donde $1\le i\le n$ satisfacen $a_1<a_2<\ldots <a_n$ y $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\le 1$ . Demuestre que, para cualquier número real $x$ , se cumple la siguiente desigualdad \[\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i^2+x^2}\right)^2\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a_1(a_1-1)+x^2} \]

Para un número real dado $a$ y un entero positivo $n$ , demuestre que: i) existe exactamente una secuencia de números reales $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ tal que \[\begin{cases} x_0=x_{n+1}=0,\\ \frac{1}{2}(x_i+x_{i+1})=x_i+x_i^3-a^3,\ i=1,2,\ldots,n.\end{cases}\] ii) la secuencia $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ en i) satisface $|x_i|\le |a|$ donde $i=0,1,\ldots,n+1$ .

Sea $M$ un conjunto que consta de $n$ puntos en el plano, que satisfacen: i) existe 7 puntos en $M$ que constituyen los vértices de un heptágono convexo; ii) si para cualquier 5 puntos en $M$ que constituyen los vértices de un pentágono convexo, entonces hay un punto en $M$ que se encuentra en el interior del pentágono. Encuentre el valor mínimo de $n$ .

Sea $c$ un entero positivo. Considere la secuencia $x_1,x_2,\ldots$ que satisface $x_1=c$ y, para $n\ge 2$ , \[x_n=x_{n-1}+\left\lfloor\frac{2x_{n-1}-(n+2)}{n}\right\rfloor+1\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota el entero más grande no mayor que $x$ . Determine una expresión para $x_n$ en términos de $n$ y $c$ .

Sean $EFGH,ABCD$ y $E_1F_1G_1H_1$ tres cuadriláteros convexos que satisfacen: i) Los puntos $E,F,G$ y $H$ se encuentran en los lados $AB,BC,CD$ y $DA$ respectivamente, y $\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot \frac{CG}{GD}\cdot \frac{DH}{HA}=1$ ; ii) Los puntos $A,B,C$ y $D$ se encuentran en los lados $H_1E_1,E_1F_1,F_1,G_1$ y $G_1H_1$ respectivamente, y $E_1F_1||EF,F_1G_1||FG,G_1H_1||GH,H_1E_1||HE$ . Suponga que $\frac{E_1A}{AH_1}=\lambda$ . Encuentre una expresión para $\frac{F_1C}{CG_1}$ en términos de $\lambda$ .

Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de números racionales, $\mathbb{Z}$ el conjunto de enteros. En el plano coordenado, dado un entero positivo $m$ , define $$A_m = \left\{ (x,y)\mid x,y\in\mathbb{Q}, xy\neq 0, \frac{xy}{m}\in \mathbb{Z}\right\}.$$ Para el segmento $MN$ , define $f_m(MN)$ como el número de puntos en el segmento $MN$ que pertenecen al conjunto $A_m$ . Encuentre el menor número real $\lambda$ , tal que para cualquier línea $l$ en el plano coordenado, existe una constante $\beta (l)$ relacionada con $l$ , satisfaciendo: para cualesquiera dos puntos $M,N$ en $l$ , $$f_{2016}(MN)\le \lambda f_{2015}(MN)+\beta (l)$$

En un triángulo acutángulo $ABC, AB<AC$ , $I$ es su incentro, $D$ es el pie de la perpendicular de $I$ a $BC$ , la altura $AH$ se encuentra con $BI,CI$ en $P,Q$ respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $\triangle IPQ$ , extienda $AO$ para que se encuentre con $BC$ en $L$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle AIL$ se encuentra con $BC$ nuevamente en $N$ . Demuestre que $\frac{BD}{CD}=\frac{BN}{CN}$ .

Encuentre el mayor entero positivo $m$ , tal que una de las $4$ letras $C,G,M,O$ puede ser colocada en cada celda de una tabla con $m$ filas y $8$ columnas, y tiene la siguiente propiedad: Para cualesquiera dos filas distintas en la tabla, existe a lo sumo una columna, tal que las entradas de estas dos filas en tal columna son la misma letra.

Define una sucesión $\{a_n\}$ por \[S_1=1,\ S_{n+1}=\frac{(2+S_n)^2}{ 4+S_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots).\] Donde $S_n$ es la suma de los primeros $n$ términos de la sucesión $\{a_n\}$ . Para cualquier entero positivo $n$ ,demuestre que \[a_{n}\ge \frac{4}{\sqrt{9n+7}}.\]

Sea $n$ un entero positivo , $a_1,a_2,\cdots,a_n\in\{0,1,\cdots,n\}$ . Para el entero $j$ $(1\le j\le n)$ ,define $b_j$ como el número de elementos en el conjunto $\{i|i\in\{1,\cdots,n\},a_i\ge j\}$ .Por ejemplo ：Cuando $n=3$ ,si $a_1=1,a_2=2,a_3=1$ ,entonces $b_1=3,b_2=1,b_3=0$ . $(1)$ Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n}(i+a_i)^2\ge \sum_{i=1}^{n}(i+b_i)^2.$$ $(2)$ Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n}(i+a_i)^k\ge \sum_{i=1}^{n}(i+b_i)^k,$$ para el entero $k\ge 3.$