Determine todos los valores posibles del entero positivo $n$ , tales que existen $n$ subconjuntos diferentes de 3 elementos $A_1,A_2,...,A_n$ del conjunto $\{1,2,...,n\}$ , con $|A_i \cap A_j| \not= 1$ para todo $i \not= j$ .

$AB$ es un diámetro de un círculo con centro $O$ . Sean $C$ y $D$ dos puntos diferentes en el círculo en el mismo lado de $AB$ , y las líneas tangentes al círculo en los puntos $C$ y $D$ se encuentran en $E$ . Los segmentos $AD$ y $BC$ se encuentran en $F$ . Las líneas $EF$ y $AB$ se encuentran en $M$ . Demuestre que $E,C,M$ y $D$ son concíclicos.

Suponga que $m$ y $k$ son enteros no negativos, y $p = 2^{2^m}+1$ es un número primo. Demuestre que \n(a) $2^{2^{m+1}p^k} \equiv 1$ $(\text{mod } p^{k+1})$ ;\n(b) $2^{m+1}p^k$ es el entero positivo más pequeño $n$ que satisface la ecuación de congruencia $2^n \equiv 1$ $(\text{mod } p^{k+1})$ .

Sea $n(\ge 2)$ un entero. $2n^2$ concursantes participan en una competencia china de ajedrez, donde cada dos concursantes juegan exactamente una vez. Puede haber empates. Se sabe que (1) Si A le gana a B y B le gana a C, entonces A le gana a C. (2) Hay como máximo $\frac{n^3}{16}$ empates. Prueba que es posible elegir $n^2$ concursantes y etiquetarlos $P_{ij}(1\le i,j\le n)$ , de modo que para cualquier $i,j,i',j'\in \{1,2,...,n\}$ , si $i<i'$ , entonces $P_{ij}$ le gana a $P_{i'j'}$ .

Encuentre el real más pequeño $\alpha$ , tal que para cualquier polígono convexo $P$ con área $1$ , existe un punto $M$ en el plano, tal que el área de la envolvente convexa de $P\cup Q$ es como máximo $\alpha$ , donde $Q$ denota la imagen de $P$ bajo simetría central con respecto a $M$ .

Suponga que $x_1,x_2,...,x_{60}\in [-1,1]$ , encuentre el máximo de $$ \sum_{i=1}^{60}x_i^2(x_{i+1}-x_{i-1}),$$ donde $x_{i+60}=x_i$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n(\ge 2)$ y el racional $\beta \in (0,1)$ que satisfagan lo siguiente: Existen enteros positivos $a_1,a_2,...,a_n$ , tales que para cualquier conjunto $I \subseteq \{1,2,...,n\}$ que contenga al menos dos elementos, $$ S(\sum_{i\in I}a_i)=\beta \sum_{i\in I}S(a_i). $$ donde $S(n)$ denota la suma de los dígitos de la representación decimal de $n$ .

Sea un triángulo $ABC(AB<AC)$ con incentro $I$ circunscrito en $\odot O$ . Sean $M,N$ los puntos medios del arco $\widehat{BAC}$ y $\widehat{BC}$ , respectivamente. $D$ se encuentra en $\odot O$ de modo que $AD//BC$ , y $E$ es el punto de tangencia del $A$ - excírculo de $\bigtriangleup ABC$ . El punto $F$ está en $\bigtriangleup ABC$ de modo que $FI//BC$ y $\angle BAF=\angle EAC$ . Extienda $NF$ para encontrarse con $\odot O$ en $G$ , y extienda $AG$ para encontrarse con la línea $IF$ en L. Sea la línea $AF$ y $DI$ se encuentran en $K$ . Prueba que $ML\bot NK$ .

Sea $ n(\ge2) $ un entero positivo. Encuentre el mínimo $ m $ , para que existan $x_{ij}(1\le i ,j\le n)$ que satisfagan: (1)Para todo $1\le i ,j\le n, x_{ij}=max\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ij}\} $ o $ x_{ij}=max\{x_{1j},x_{2j},...,x_{ij}\}.$ (2)Para todo $1\le i \le n$ , hay como máximo $m$ índices $k$ con $x_{ik}=max\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ik}\}.$ (3)Para todo $1\le j \le n$ , hay como máximo $m$ índices $k$ con $x_{kj}=max\{x_{1j},x_{2j},...,x_{kj}\}.$

Prueba que existe una constante $\lambda$ , de modo que para cualquier entero positivo $m(\ge 2)$ , y cualquier triángulo reticular $T$ en el plano de coordenadas cartesianas, si $T$ contiene exactamente un punto reticular $m$ en su interior (sin contener el límite), entonces $T$ tiene un área $\le \lambda m^3$ . PS. los triángulos reticulares son triángulos cuyos vértices son puntos reticulares; los puntos reticulares $m$ son puntos reticulares cuyas coordenadas son divisibles por $m$ .