Hay $n$ estudiantes, cada uno con $r$ enteros positivos. Sus $nr$ enteros positivos son todos diferentes. Demuestre que podemos dividir a los estudiantes en $k$ clases satisfaciendo las siguientes condiciones. (a) $ k \le 4r $ (b) Si un estudiante $A$ tiene el número $m$ , entonces el estudiante $B$ en la misma clase no puede tener un número $l$ tal que \[ (m-1)! < l < (m+1)!+1 \]

Sea $ABC$ un triángulo y su incírculo se encuentra con $BC, AC, AB$ en $D, E$ y $F$ respectivamente. Sea el punto $ P $ en el incírculo y dentro de $ \triangle AEF $ . Sean $ X=PB \cap DF , Y=PC \cap DE, Q=EX \cap FY $ . Demuestre que los puntos $ A$ y $Q$ se encuentran en $DP$ simultáneamente o están ubicados en lados opuestos de $DP$ .

Encuentre el número de enteros positivos $ n < 3^8 $ que satisfacen la siguiente condición. 'El número de enteros positivos $k (1 \leq k \leq \frac {n}{3})$ tales que $ \frac{n!}{(n-3k)! \cdot k! \cdot 3^{k+1}} $ no es un entero' es $ 216 $ .

Sean $k,n$ enteros positivos. Hay $kn$ puntos $P_1, P_2, \cdots, P_{kn}$ en un círculo. Podemos colorear cada punto con uno de los colores $ c_1, c_2, \cdots , c_k $ . ¿De cuántas maneras podemos colorear los puntos satisfaciendo las siguientes condiciones? (a) Cada color se usa $ n $ veces. (b) $ \forall i \not = j $ , si $ P_a $ y $ P_b $ están coloreados con el color $ c_i $ , y $ P_c $ y $ P_d $ están coloreados con el color $ c_j $ , entonces el segmento $ P_a P_b $ y el segmento $ P_c P_d $ no se cruzan.

Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $a+b+c+d=19$ y $a^2+b^2+c^2+d^2=91$ . Encuentre el valor máximo de \[ \frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} +\frac{1}{d} \]

Sean $x, y$ enteros positivos tales que $\gcd(x,y)=1$ y $x+3y^2$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que $x^2+9y^4$ no puede ser un cuadrado perfecto.

Dos círculos $ O, O' $ que tienen el mismo radio se encuentran en dos puntos, $ A,B (A \not = B) $ . Los puntos $ P,Q $ están cada uno en el círculo $ O $ y $ O' $ $(P \not = A,B ~ Q\not = A,B )$ . Seleccione el punto $ R $ tal que $ PAQR $ es un paralelogramo. Asuma que $ B, R, P, Q $ es cíclico. Ahora demuestre que $ PQ = OO' $ .

Demuestra que existe una función $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisface lo siguiente (1) $\{f(n) : n\in\mathbb{N}\}$ es un conjunto finito; y (2) Para enteros distintos de cero $x_1, x_2, \ldots, x_{1000}$ que satisfacen $f(\left|x_1\right|)=f(\left|x_2\right|)=\cdots=f(\left|x_{1000}\right|)$ , entonces $x_1+2x_2+2^2x_3+2^3x_4+2^4x_5+\cdots+2^{999}x_{1000}\ne 0$ .

Sean $x, y, z$ los números reales que satisfacen lo siguiente. $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=8, x^3+y^3+z^3=1$ Encuentra el valor mínimo de $x^4+y^4+z^4$ .

¿Cuántas funciones uno a uno $f : \{1, 2, \cdots, 9\} \rightarrow \{1, 2, \cdots, 9\}$ satisfacen (i) e (ii)? (i) $f(1)>f(2)$ , $f(9)<9$ . (ii) Para cada $i=3, 4, \cdots, 8$ , si $f(1), \cdots, f(i-1)$ son menores que $f(i)$ , entonces $f(i+1)$ también es menor que $f(i)$ .