Para un número real arbitrario $x$, la función $f : \mathbb R \to \mathbb R$ satisface $f(f(x))-x^2+x+3=0$. Demuestra que la función $f$ no existe.

Hay dos países $A$ y $B$, donde cada país tiene $n(\ge 2)$ aeropuertos. Hay algunos vuelos de dos vías entre los aeropuertos de $A$ y $B$, de modo que cada aeropuerto tiene exactamente $3$ vuelos. Podría haber múltiples vuelos entre dos aeropuertos; y no hay vuelos entre los aeropuertos del mismo país. Una agencia de viajes quiere planificar un curso de viaje exótico que viaje por los $2n$ aeropuertos exactamente una vez, y regrese al aeropuerto inicial. Si $N$ denota el número de todos los cursos de viaje exóticos, entonces demuestre que $\frac{N}{4n}$ es un entero par. (Aquí, tenga en cuenta que dos cursos de viaje exóticos son diferentes si su lugar de inicio es diferente.)

Para el primo $p\equiv 1\pmod{7} $, demuestre que existe algún entero positivo $m$ tal que $m^3+m^2-2m-1$ es un múltiplo de $p$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, $AB>AC$. Sean $I$ el incentro, $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, y $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$. $AI$ interseca a $\Omega$ en el punto $M(\neq A)$, y la línea que pasa por $M$ y es perpendicular a $AM$ interseca a $AD$ en el punto $E$. Ahora sea $F$ el pie de la perpendicular desde $I$ a $AD$. Demuestre que $ID\cdot AM=IE\cdot AF$.

Encuentre todas las funciones $f$ tales que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y $f(f(x)-x+y^2)=yf(y)$

Sean $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), \cdots, (x_{19}, y_{19}, z_{19})$ enteros. Demuestre que existen subíndices distintos entre sí $i, j, k$ tales que $x_i+x_j+x_k$ , $y_i+y_j+y_k$ , $z_i+z_j+z_k$ son todos múltiplos de $3$.

Suponga que los enteros positivos $m,n,k$ satisfacen las ecuaciones $$m^2+1=2n^2, 2m^2+1=11k^2.$$ Halle el residuo cuando $n$ se divide por $17$.

El triángulo $ABC$ es un triángulo escaleno. Sea $I$ el incentro, $\Omega$ la circunferencia circunscrita, $E$ el excentro de $A$ del triángulo $ABC$. Sea $\Gamma$ el círculo centrado en $E$ y que pasa por $A$. $\Gamma$ y $\Omega$ se intersecan en el punto $D(\neq A)$, y la línea perpendicular a $BC$ que pasa por $A$ se encuentra con $\Gamma$ en el punto $K(\neq A)$. $L$ es el pie de la perpendicular desde $I$ a $AC$. Ahora, si $AE$ y $DK$ se intersecan en $F$, demuestre que $BE\cdot CI=2\cdot CF\cdot CL$.

La secuencia ${a_1, a_2, ..., a_{2019}}$ satisface la siguiente condición. $a_1=1, a_{n+1}=2019a_{n}+1$ Ahora sean $x_1, x_2, ..., x_{2019}$ números reales tales que $x_1=a_{2019}, x_{2019}=a_1$ (Los otros son arbitrarios.) Demuestre que $\sum_{k=1}^{2018} (x_{k+1}-2019x_k-1)^2 \ge \sum_{k=1}^{2018} (a_{2019-k}-2019a_{2020-k}-1)^2$

Sean $ x_1, x_2, \cdots, x_{25} $ números reales tales que $ 0 \le x_i \le i (i=1, 2, \cdots, 25) $ . Encuentre el valor máximo de \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{25}^{3} - ( x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots x_{25}x_1x_2 ) \]