Hay un triángulo isósceles que sigue lo siguiente: $ \bar{AB}=\bar{AC}=5, \bar{BC}=6 $ D,E son puntos en $ \bar{AC} $ que sigue $ \bar{AD}=1, \bar{EC}=2 $ Si la extensión de $ \triangle $ BDE = S, Encuentra 15S.

Encuentra esto: $ (1+\frac{1}{5})(1+\frac{1}{6})...(1+\frac{1}{2023})(1+\frac{1}{2024}) $

En un rectángulo con vértices $(0, 0), (0, 2), (n,0),(n, 2)$ , ( $n$ es un entero positivo) encontrar el número de caminos más largos que comienzan en $(0, 0)$ y llegan a $(n, 2)$ que satisfacen lo siguiente: $\bullet$ En cada movimiento, puede moverse a la derecha, arriba, izquierda, abajo en $1$ . $\bullet$ No puede visitar un punto que visitó antes. $\bullet$ No puede moverse fuera del rectángulo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cíclico. Sea $E$ la intersección de las líneas $AB,CD$ . $P$ es la intersección de la línea que pasa por $B$ y es perpendicular a $AC$ , y la línea que pasa por $C$ y es perpendicular a $BD$ . $Q$ es la intersección de la línea que pasa por $D$ y es perpendicular a $AC$ , y la línea que pasa por $A$ y es perpendicular a $BD$ . Demostrar que los tres puntos $E, P,Q$ son colineales.

Sea $n\in\mathbb{N}$ y $p$ es el número primo impar. Definir la secuencia $a_n$ tal que $a_1=pn+1$ y $a_{k+1}=na_k+1$ para todo $k \in \mathbb{N}$ . Demostrar que $a_{p-1}$ es un número compuesto.

Si los reales $x, y, z $ satisfacen $tan x + tan y + tan z = 2$ y $0 < x, y,z < \frac{\pi}{2}.$ Demostrar que $$sin^2 x + sin^2 y + sin^2 z < 1.$$

Sea una secuencia $a_n$ tal que $a_1 = 2,a_2 = 0, a_3 = 1, a_4 = 0$ , y para $n \ge 1, a_{n+4}$ es el residuo cuando $a_n + 2a_{n+1} + 3a_{n+2} + 4a_{n+3}$ se divide por $9$ . Demostrar que no existe un entero positivo $k$ tal que $$a_k = 0, a_{k+1} = 1, a_{k+2} = 0,a_{k+3} = 2.$$

En un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ , sean $D$ un punto en el segmento $AC, E$ un punto en el segmento $AB$ tales que $\angle ADE = \angle ABC$ . Sea la bisectriz de $\angle A$ que intersecta a $BC$ en $K$ . Sea el pie de la perpendicular desde $K$ a $DE$ como $P$ , y el pie de la perpendicular desde $A$ a $DE$ como $L$ . Sea $Q$ el punto medio de $AL$ . Si el incentro de $\triangle ABC$ está en la circunferencia circunscrita de $\triangle ADE$ , demostrar que $P,Q$ y el incentro de $\triangle ADE$ son colineales.

Sea un tablero de $n\times n$. Escribe $0$ o $1$ en todas las $n^2$ casillas. Para $1 \le k \le n$ , sea $A_k$ el producto de todos los números en la fila $k$. ¿De cuántas maneras se pueden escribir los números para que $A_1 + A_2 + ... + A_n$ sea par?

Demostrar que $ 7^{2^{20}} + 7^{2^{19}} + 1 $ tiene al menos $ 21 $ divisores primos distintos.