Para un triángulo $ \triangle ABC (\angle B > \angle C) $ , $ D $ es un punto en $ AC $ que satisface $ \angle ABD = \angle C $ . Sea $ I $ el incentro de $ \triangle ABC $ , y la circunferencia circunscrita de $ \triangle CDI $ se encuentra con $ AI $ en $ E ( \ne I ) $ . La línea que pasa por $ E $ y es paralela a $ AB $ se encuentra con la línea $ BD $ en $ P $ . Sea $ J $ el incentro de $ \triangle ABD $ , y $ A' $ sea el punto tal que $ AI = IA' $ . Sea $ Q $ el punto de intersección de $ JP $ y $ A'C $ . Demuestra que $ QJ = QA' $ .

$T$ es un conjunto de todos los enteros positivos de la forma $2^k 3^l$, donde $k, l$ son algunos enteros no negativos. Demuestre que existen $1998$ elementos diferentes de $T$ que satisfacen la siguiente condición. Condición La suma de los $1998$ elementos es nuevamente un elemento de $T$.

$O$ es la circunferencia circunscrita del triángulo no isósceles $ABC$ y la bisectriz del ángulo $A$ se encuentra con $BC$ en $D$. Si la línea perpendicular a $BC$ que pasa por $D$ se encuentra con $AO$ en $E$, demuestre que $ADE$ es un triángulo isósceles.

Para los reales positivos $a \geq b \geq c \geq 0$ pruebe la siguiente desigualdad: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$$

Un $2n$ - gono regular está inscrito en el círculo unitario. Encuentre la suma de los cuadrados de todos los lados y las longitudes diagonales en el $2n$ - gono.

$n$ líneas están en el mismo plano, no hay dos de ellas paralelas y no hay tres de ellas colineales (por lo que el plano debe dividirse en algunas partes). ¿En cuántas partes se divide el plano? Considere solo las particiones con área finitamente grande.

$O$ es el circuncentro de $ABC$, y $H$ es el ortocentro de $ABC$. Si $D$ es el punto medio de $AC$ y $E$ es la intersección de $BO$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ que no es $B$, demostrar que los tres puntos $H, D, E$ son colineales.

Hay $6$ computadoras (apagadas) y $3$ impresoras. Entre una impresora y una computadora, están conectadas con un cable o no. La impresora solo se puede activar si y solo si al menos una de las computadoras conectadas está encendida. El objetivo es conectar los cables de tal manera que, sin importar cómo elija tres computadoras para encender entre las seis, pueda activar las $3$ impresoras. ¿Cuál es el número mínimo de cables necesarios para que esto sea posible?

Demostrar que no existen soluciones enteras $(x, y, z)$ para la ecuación $$x^3+2y^3+4z^3=9$$

Hay un tablero de ajedrez con $m$ columnas y $n$ filas. En cada espacio en blanco, se da un entero. Si un rectángulo $R$ (en este tablero de ajedrez) tiene un entero $h$ que satisface las siguientes dos condiciones, llamamos a $R$ como un 'estante'. (i) Todos los enteros contenidos en $R$ son mayores que $h$ . (ii) Todos los enteros en los espacios en blanco, que no están contenidos en $R$ pero se encuentran con $R$ en un vértice o un lado, no son mayores que $h$ . Asumir que todos los enteros se dan para hacer estantes tanto como sea posible. Encontrar el número de estantes.