Para los reales positivos $a_1, a_2, ..., a_5$ tales que $a^2_1+a^2_2+...+a^2_5=2$, considere cinco cuadrados con lados $a_1, a_2, ..., a_5$ respectivamente. Demuestre que estos cuadrados se pueden colocar dentro (incluidas las fronteras) de un cuadrado con una longitud lateral de $2$ de modo que los cuadrados no se superpongan entre sí.

Para un número primo $p$, sea $f_p(x)=x^{p-1} +x^{p-2} + \cdots + x + 1$. (1) Cuando $p$ divide a $m$, demostrar que existe un número primo que es coprimo con $m(m-1)$ y divide a $f_p(m)$. (2) Demostrar que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $pn+1$ es un número primo.

Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene circunradio $R$, inradio $r$. $A$ es el ángulo más grande entre $A,B,C$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y $X$ la intersección de dos líneas que tocan la circunferencia circunscrita de $ABC$ y pasan por $B,C$ respectivamente. Demostrar la siguiente desigualdad: $ \frac{r}{R} \geq \frac{AM}{AX}$ .

En un círculo hay $n$ puntos tales que cada punto tiene un número distinto. Determinar el número de maneras de elegir $k$ puntos tales que para cualquier punto haya al menos 3 puntos entre este punto y el punto más cercano. (en el sentido de las agujas del reloj) ($n,k\geq 2$)

2004 computadoras conforman una red usando varios cables. Si para un subconjunto $S$ en el conjunto de todas las computadoras, no hay un cable que conecte dos computadoras en $S$, $S$ se llama independiente. Se permite que el conjunto independiente arbitrario consista en a lo sumo 50 computadoras, y se usa el menor número de cables. (1) Sea $c(L)$ el número de cables que conecta la computadora $L$. Demostrar que para dos computadoras $A,B$, $c(A)=c(B)$ si hay un cable que conecta $A$ y $B$, $|c(A)-c(B)|\leq 1$ en caso contrario. (2) Determinar el número de cables usados.

Demostrar que la ecuación $3y^2 = x^4 + x$ no tiene soluciones enteras positivas.

Un triángulo isósceles con $AB=AC$ tiene un círculo inscrito $O$, que toca sus lados $BC,CA,AB$ en $K,L,M$ respectivamente. Las líneas $OL$ y $KM$ se intersecan en $N$; las líneas $BN$ y $CA$ se intersecan en $Q$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre $BQ$. Suponga que $BP=AP+2\cdot PQ$. Entonces, ¿qué valores puede asumir la razón $\frac{AB}{BC}$?

Defina el conjunto $F$ como lo siguiente: $F = \{(a_1,a_2,... , a_{2006}) : \forall i = 1, 2,..., 2006, a_i \in \{-1,1\}\}$ Demuestre que existe un subconjunto de $F$ , llamado $S$ que satisface lo siguiente: $|S| = 2006$ y para todo $(a_1,a_2,... , a_{2006})\in F$ existe $(b_1,b_2,... , b_{2006}) \in S$ , tal que $\Sigma_{i=1} ^{2006}a_ib_i = 0$ .

Una línea a través del punto $P$ fuera del círculo $O$ se encuentra con dicho círculo en $B,C$ ( $PB < PC$ ) . Sea $PO$ encontrar el círculo $O$ en $Q,D$ (con $PQ < PD$ ) . Sea la línea que pasa por $Q$ y es perpendicular a $BC$ que se encuentra con el círculo $O$ en $A$ . Si $BD^2 = AD\cdot CP$ , demuestre que $PA$ es tangente a $O$ .

Para todos los reales $a, b, c,d $ demuestre la siguiente desigualdad: $$\frac{a + b + c + d}{(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)(1 + d^2)}< 1$$