Suponga que $f(x)$ es una función que satisface $\left | f(m+n)-f(m) \right | \leq \frac{n}{m}$ para todos los enteros positivos $m$ , $n$ . Demuestre que para todos los enteros positivos $k$ : $\sum_{i=1}^{k}\left |f(2^k)-f(2^i) \right |\leq \frac{k(k-1)}{2}$

Se nos dan dos triángulos. Pruebe que si $\angle{C}=\angle{C'}$ y $\frac{R}{r}=\frac{R'}{r'}$ , entonces son similares.

Sean $a, c$ enteros positivos. El entero positivo $b$ es un divisor de $ac-1$. Para un número racional positivo $r$ que es menor que $1$, define el conjunto $A(r)$ como sigue. $$A(r) = \{m(r-ac)+nab| m, n \in \mathbb{Z} \}$$ Encontrar todos los números racionales $r$ que hacen que el número racional positivo mínimo en $A(r)$ sea mayor o igual a $\frac{ab}{a+b}$.

Sea una figura con $9$ discos y $11$ aristas, como se muestra a continuación. Escribiremos un número real en cada disco. Entonces, para cada arista, escribiremos el cuadrado de la diferencia entre los dos números reales escritos en los dos discos que la arista conecta. Debemos escribir $0$ en el disco $A$, y $1$ en el disco $I$. Encontrar la suma mínima de todos los números reales escritos en $11$ aristas.

Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Para cada conjunto $S$ con $n$ enteros positivos distintos, demostrar que existe una biyección $f: \{1,2, \cdots n\} \rightarrow S$ que satisface la siguiente condición. Para todo $1 \le i < j < k \le n$, $f(j)^2 \neq f(i) \cdot f(k)$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. La bisectriz del ángulo $\angle A$ intersecta la bisectriz del ángulo $\angle B$, la bisectriz del ángulo $\angle D$ en $P, Q$ respectivamente. La bisectriz del ángulo $\angle C$ intersecta la bisectriz del ángulo $\angle D$, la bisectriz del ángulo $\angle B$ en $R, S$ respectivamente. $P, Q, R, S$ son todos puntos distintos. $PR$ y $QS$ se intersectan perpendicularmente en el punto $Z$. Denotemos $l_A, l_B, l_C, l_D$ como las bisectrices del ángulo exterior de $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Denotemos $E = l_A \cap l_B$, $F= l_B \cap l_C$, $G = l_C \cap l_D$, y $H= l_D \cap l_A$. Sean $K, L, M, N$ los puntos medios de $FG, GH, HE, EF$ respectivamente. Demostrar que el área del cuadrilátero $KLMN$ es igual a $ZM \cdot ZK + ZL \cdot ZN$.

Encontrar todos los valores reales de $K$ que satisfacen lo siguiente. Sea una secuencia de números reales $\{a_n\}$ que satisface lo siguiente para todos los enteros positivos $n$. (i). $0 < a_n < n^K$. (ii). $a_1 + a_2 + \cdots + a_n < \sqrt{n}$. Entonces, existe un entero positivo $N$ tal que para todos los enteros $n>N$, $$a^{2018}_1 + a^{2018}_2 + \cdots +a^{2018}_n < \frac{n}{2018}$$

Denotemos $f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 4x+4$. Demostrar que hay infinitos primos $p$ que satisfacen lo siguiente. Para todos los enteros positivos $m$, $f(m)$ no es múltiplo de $p$.

Para un entero positivo $n$, denotemos $p(n)$ como el número de tuplas de enteros no negativos $(x,y,z,w)$ tales que $x+y+2z+3w=n-1$. También, denotemos $q(n)$ como el número de tuplas de enteros no negativos $(a,b,c,d)$ tales que (i). $a+b+c+d=n$. (ii). $a \ge b$, $c \ge d$, $a \ge d$. (iii). $b < c$. Demostrar que para todo $n$, $p(n) = q(n)$.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$. $E$ es el pie de la perpendicular desde $I$ a $AC$. La línea que pasa por $A$ y es perpendicular a $BI$ intersecta la línea $CI$ en $K$. La línea que pasa por $A$ y es perpendicular a $CI$ intersecta la línea que pasa por $C$ y es perpendicular a $BI$ en $L$. Demostrar que $E, K, L$ son colineales.