Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que el número primo $a+b+1$ divide al entero $4ab-1$ . Demuestra que $a=b$ .

La base de la pirámide $ABCD$ es un triángulo equilátero $ABC$ con longitud de lado $1$ . Adicionalmente, \[\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=90^\circ\,.\] Calcula el volumen de la pirámide $ABCD$ .

Hay $n$ cerillas sobre una mesa, formando $n$ pilas de una cerilla. Adam quiere combinarlas en una sola pila de $n$ cerillas. Lo hará mediante $n-1$ operaciones, cada una de las cuales consiste en combinar dos pilas en una sola. Adam ha llegado a un acuerdo con Bartek según el cual, cada vez que combine una pila de $a$ cerillas con una pila de $b$ cerillas, recibirá $a\cdot b$ caramelos de Bartek. ¿Cuál es el mayor número de caramelos que Adam puede recibir después de realizar $n-1$ operaciones? Justifica tu respuesta.

En el hexágono convexo $ABCDEF$ , los ángulos en los vértices $B$ , $C$ , $E$ , y $F$ son iguales. Además, se cumple la igualdad \[AB+DE=AF+CD\]. Demuestra que la línea $AD$ y las bisectrices de los segmentos $BC$ y $EF$ tienen un punto en común.

Se dan enteros positivos $a$ y $b$ tales que cada uno de los números $ab$ y $(a+1)(b+1)$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que existe un entero $n>1$ tal que el número $(a+n)(b+n)$ es un cuadrado perfecto.

El punto $D$ se encuentra en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ , y el punto $E$ se encuentra en el segmento $CD$ . Demuestra que si la suma de las áreas de los triángulos $ACE$ y $BDE$ es igual a la mitad del área del triángulo $ABC$ , entonces el punto $D$ es el punto medio de $AB$ o el punto $E$ es el punto medio de $CD$ .

Sean $a$ , $b$ , y $c$ enteros positivos para los cuales el número \[\frac{a\sqrt2+b}{b\sqrt2+c}\] es racional. Demuestra que el número $ab+bc+ca$ es divisible por $a+b+c$ .

Un cuadrado $ABCD$ con lados de longitud $4$ es la base de un cuboide $ABCDA'B'C'D'$. Los lados $AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ de este cuboide tienen longitud $7$. Los puntos $K, L, M$ se encuentran respectivamente en los segmentos de línea $AA'$, $BB'$, $CC'$, y $AK = 3$, $BL = 2$, $CM = 5$. Un plano que pasa por los puntos $K, L, M$ corta el cuboide en dos bloques. Calcula los volúmenes de estos bloques.

Los enteros positivos $k, m, n$ satisfacen la ecuación $m^2 + n = k^2 + k$. Demuestra que $m \le n$.

Cada entero debe ser coloreado por uno de tres colores, incluyendo el rojo. Cada número que puede ser representado como una suma de dos números de diferentes colores debe ser rojo. Cada color debe ser usado. ¿Es posible esta coloración?