En cada celda de una tabla de $4\times 4$, se escribe uno de los números $1$ o $2$. Para cada fila, calcula la suma de los números escritos en ella, y para cada columna, calcula el producto de los números escritos en ella. Demuestra que algunos dos de los ocho resultados obtenidos son iguales.

Considera un paralelogramo $ABCD$ donde $AB>AD$. Sean $X$ e $Y$, distintos de $B$, puntos en el rayo $BD^\rightarrow$ tales que $CX=CB$ y $AY=AB$. Demuestra que $DX=DY$. Nota: La notación $BD^\rightarrow$ denota el rayo que se origina en el punto $B$ y pasa por el punto $D$.

Un número natural $n$ tiene al menos dos dígitos de largo. Si escribimos un cierto dígito entre el dígito de las decenas y el dígito de las unidades de este número, obtenemos seis veces el número $n$. Encuentra todos los números $n$ con esta propiedad.

Inicialmente, los números $2$ y $5$ están escritos en la pizarra. Un \emph{movimiento} consiste en reemplazar uno de los dos números en la pizarra con su suma. ¿Es posible obtener (en un número finito de movimientos) una situación en la que los dos enteros escritos en la pizarra sean consecutivos? Justifica tu respuesta.

En los lados $AB$ y $BC$ del triángulo $ABC$, hay puntos $D$ y $E$, respectivamente, tales que \[\angle ADC=\angle BDE\quad\text{y}\quad \angle BCD=\angle AED.\] Demuestra que $AE=BE$.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $m$ , $n$ tales que el número de $(m+n)$ - dígitos \[\underbrace{33\ldots3}_{m}\underbrace{66\ldots 6}_{n}\] es un cuadrado perfecto.

Sea $n\geq 1$ un entero impar. Hay $n$ flechas dispuestas de izquierda a derecha, de manera que cada flecha apunta hacia la izquierda o hacia la derecha. Demostrar que existe una flecha que es apuntada por exactamente tantas flechas como apunta ella misma. Nota: Por ejemplo, para $n=5$ y la disposición $\rightarrow\rightarrow\leftarrow\leftarrow\rightarrow$ , las flechas sucesivas (desde la izquierda) apuntan respectivamente a $4$ , $3$ , $2$ , $3$ , $0$ flechas.

Se da un triángulo $ABC$ , donde $AC<BC$ y $\angle ACB=60^\circ\!\!.$ El punto $D$ , distinto de $A$ , se encuentra en el segmento $AC$ tal que $AB=BD$ , y el punto $E$ , distinto de $B$ , se encuentra en la línea $BC$ tal que $AB=AE$ . Demostrar que $\angle DEC=30^\circ$ .

Existen enteros $a$ y $b$ , tales que $a>b>1$ y $b$ es el divisor más grande de $a$ diferente de $a$ . Demostrar que el número $a+b$ no es una potencia de $2$ con exponente entero.

Determinar si existen números reales $x$ , $y$ , $z$ , tales que \[x+\frac{1}{y}=z,\quad y+\frac{1}{z}=x,\quad z+\frac{1}{x}=y.\]