Olimpiada Juvenil Polaca de Matemáticas 2018 Problema 4
Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$. Las bisectrices de $AD$ y $BC$ se intersecan en los segmentos de línea $BC$ y $AD$ respectivamente en los puntos $P$ y $Q$. Demuestra que $\angle APD = \angle BQC$.
21
0
Olimpiada Juvenil Polaca de Matemáticas 2018 Problema 3
Los números primos $a, b, c$ son mayores que $3$. Demuestra que $(a - b)(b - c)(c - a)$ es divisible por $48$.
22
0
Olimpiada Juvenil Polaca de Matemáticas 2018 Problema 2
Dentro del paralelogramo $ABCD$ hay un punto $P$, tal que $PC = BC$. Demuestra que la línea $BP$ es perpendicular a la línea que conecta los puntos medios de los lados de los segmentos de línea $AP$ y $CD$.
22
0
Olimpiada Juvenil Polaca de Matemáticas 2018 Problema 1
Los números $a, b, c$ son tales que $3a + 4b = 3c$ y $4a - 3b = 4c$. Demuestra que $a^2 + b^2 = c^2$.
22
0
Olimpiada Juvenil Polaca 2020 Problema 5
Sean $a$, $b$ enteros tales que $gcd(a + n,b + n) > 1$ para todo entero $n \geq 1$. Demuestre que $a = b$.
20
0
Olimpiada Juvenil Polaca 2020 Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo tal que $\sphericalangle BAC = 45^{\circ}$ y $\sphericalangle ACB > 90^{\circ}.$ Muestre que $BC + (\sqrt{2} - 1)\cdot CA < AB.$
21
0
Olimpiada Juvenil Polaca 2020 Problema 3
Hay un torneo para niños y niñas. Cada persona jugó exactamente un partido con cada otra persona, no hubo empates. Resultó que cada persona había perdido al menos un juego. Además, cada niño perdió un número diferente de partidos que cualquier otro niño. Demuestre que hay una niña que ganó un partido con al menos un niño.
21
0
Olimpiada Juvenil Polaca 2020 Problema 2
Sea $ABCD$ el paralelogramo, tal que el ángulo en el vértice $A$ es agudo. La bisectriz perpendicular del segmento $AB$ interseca el segmento $CD$ en el punto $X$. Sea $E$ el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo $ABCD$. Demuestre que $XE = \frac{1}{2}AD$.
22
0
Olimpiada Juvenil Polaca 2020 Problema 1
Sean $a$, $b$, $c$ números reales. Es cierto que $a + b$, $b + c$ y $c + a$ son tres enteros consecutivos, en cierto orden, y el menor de ellos es impar. Demuestre que los números $a$, $b$, $c$ también son enteros consecutivos en cierto orden.
19
0
Olimpiada Polaca Junior 2020 Problema 7
Considere el prisma recto con el rombo de lado $a$ y ángulo agudo $60^{\circ}$ como base. Este prisma fue intersectado por algún plano que intersecta sus aristas laterales, tal que la sección transversal del prisma y el plano es un cuadrado. Determinar todas las longitudes posibles del lado de este cuadrado.
21
0