En una cuadrícula de $m \times n$ con $m, n \geq 3$, el número de cuadritos que tienen exactamente 3 cuadritos vecinos es igual al número de cuadritos que tienen exactamente 4 cuadritos vecinos. ¿Cuántos cuadritos tiene la cuadrícula? (Nota: Decimos que dos cuadritos de la cuadrícula son vecinos cuando comparten un lado.)

En un círculo con centro $O$ se encuentran cinco puntos $A, B, C, D$ y $E$ (ver la figura). Los segmentos $AC$ y $EB$ se intersectan en el punto $P$; los segmentos $BD$ y $EC$ se intersectan en el punto $Q$. Además $PQ$ es paralela a $AD$. Probar que $EO$ es perpendicular a $AD$. [image]

Sea $n$ un natural par. En una cuadrícula de $n \times n$ están alternados los números $1$ y $0$, como se muestra a la derecha para $n = 4$. Una operación permitida consiste en escoger dos cuadros que compartan un lado y cambiar el número que aparece en cada uno de esos dos cuadros como sigue: Si hay $0$, poner $1$; si hay $1$, poner $2$ y, si hay $2$, poner $0$. Se quiere que los cuadros que tienen $1$ originalmente, al final tengan $0$, y viceversa. Encontrar para qué $n$'s es posible lograrlo. Para esos $n$, determinar el mínima cantidad de operaciones necesarias para lograrlo. [image]

En el rectángulo $ABCD$, $P$ es un punto sobre el lado $AB$ tal que $AP = 2PB$. Probar que el área del triángulo sombreado es la quinta parte del área del rectángulo. [image]

En un polígono regular de $8$ lados se quieren numerar los vértices del $1$ al $8$ de forma tal que al moverse en la dirección de las manecillas del reloj los números vayan en orden creciente salvo en exactamente dos lugares. ¿De cuantas formas distintas puede hacerse esta numeración? En el esquema siguiente se muestra un acomodo posible. [image]

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $x$ y $y$ tales que $\frac{1}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$.

En la figura, los cuadrados tienen centros $A$, $B$ y $C$. El punto $P$ es vértice común de los cuadrados con centros $A$ y $B$. Probar que $PC$ y $AB$ son segmentos perpendiculares de la misma longitud.

En el triángulo acutángulo $ABC$, $D$ es el pie de la altura desde $A$. Los puntos $P$ y $Q$ son la intersección del círculo con diámetro $AD$ y los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Probar que el área de $ABC$ es igual a $|PQ| \cdot r$, donde $r$ es el radio del círculo circunscrito a $\Delta ABC$.

Los 9 picos de la estrella que se muestra están numerados del $1$ al $9$ y desean pintarse cada uno con alguno de los colores negro, blanco y rojo de manera que haya $3$ picos de cada color, y que cualesquiera dos picos consecutivos tengan distinto color. ¿De cuántas maneras distintas pueden colorearse?

Probar que para todo $n \geq 2$, es posible partir el conjunto de los enteros del $1$ al $3n$ en $3$ conjuntos cuyos elementos sumen lo mismo.