Llamamos a un conjunto infinito $S\subseteq\mathbb{N}$ bueno si para todos los enteros distintos por pares $a,b,c\in S$, todos los divisores positivos de $\frac{a^c-b^c}{a-b}$ están en $S$. Para todos los enteros positivos $n>1$, demuestra que existe un conjunto bueno $S$ tal que $n \not \in S$.

Considere $n\geq 6$ puntos $x_1,x_2,\dots,x_n$ en el plano tales que no hay tres de ellos colineales. Llamamos a un grafo con vértices $x_1,x_2,\dots,x_n$ una 'red de carreteras' si está conectado, cada arista es un segmento de línea y no hay dos aristas que se intersequen en puntos que no sean los vértices. Demuestra que hay tres redes de carreteras $G_1,G_2,G_3$ tales que $G_i$ y $G_j$ no tienen una arista en común para $1\leq i,j\leq 3$.

En el triángulo $ABC$, con $AB<AC$, $I$ es el incentro, $E$ es la intersección de la circunferencia exinscrita $A$ y $BC$. El punto $F$ se encuentra en la bisectriz del ángulo externo de $BAC$ tal que $E$ y $F$ se encuentran en el mismo lado de la línea $AI$ y $\angle AIF=\angle AEB$. El punto $Q$ se encuentra en $BC$ tal que $\angle AIQ=90$. El círculo $\omega_b$ es tangente a $FQ$ y $AB$ en $B$, el círculo $\omega_c$ es tangente a $FQ$ y $AC$ en $C$ y ambos círculos pasan por el interior del triángulo $ABC$. Si $M$ es el punto medio del arco $BC$, que no contiene a $A$, demuestra que $M$ se encuentra en el eje radical de $\omega_b$ y $\omega_c$.

Suponga que $n$ es un número entero positivo. Considere un polígono regular con $2n$ lados tal que una de sus diagonales más grandes sea paralela al eje $x$. Encuentra el entero más pequeño $d$ tal que exista un polinomio $P$ de grado $d$ cuyo gráfico interseque todos los lados del polígono en puntos que no sean vértices.

Sean $m,n$ y $a_1,a_2,\dots,a_m$ enteros positivos arbitrarios. Ali y Mohammad juegan el siguiente juego. En cada paso, Ali elige $b_1,b_2,\dots,b_m \in \mathbb{N}$ y luego Mohammad elige un entero positivo $s$ y obtiene una nueva secuencia $\{c_i=a_i+b_{i+s}\}_{i=1}^m$, donde $$b_{m+1}=b_1,\ b_{m+2}=b_2, \dots,\ b_{m+s}=b_s$$ El objetivo de Ali es hacer que todos los números sean divisibles por $n$ en un número finito de pasos. Encuentra todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que Ali tiene una estrategia ganadora, sin importar cuáles sean los valores iniciales $a_1, a_2,\dots,a_m$. Clarificación: después de crear los $c_i$, esta secuencia se convierte en la secuencia en la que continuamos jugando, como si fuera nuestra 'nueva' $a_i$.

Encuentra todos los $C\in \mathbb{R}$ tales que toda secuencia de enteros $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ que está acotada inferiormente y para todo $n\geq 2$ satisface $$0\leq a_{n-1}+Ca_n+a_{n+1}<1$$ es periódica.

Se da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con circuncentro $O$. El punto $P$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AD$ y $BC$, respectivamente. Suponga que $\omega_1$, $\omega_2$ y $\omega_3$ son las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADP$, $BCP$ y $OMN$, respectivamente. El punto de intersección de $\omega_1$ y $\omega_3$, que no está en el arco $APD$ de $\omega_1$, es $E$ y el punto de intersección de $\omega_2$ y $\omega_3$, que no está en el arco $BPC$ de $\omega_2$, es $F$. Demuestra que $OF=OE$.

La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $CB$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. El punto $X$ es la reflexión de $D$ con respecto a $B$. Suponga que la línea $DE$ es tangente a la circunferencia exinscrita $A$ en $Z$. Sea la circunferencia circunscrita del triángulo $XZE$ que se interseca con $\omega$ por segunda vez en $K$. Demuestra que la intersección de $BK$ y $AZ$ se encuentra en $\omega$.

Para un entero positivo $n$, sean $\tau(n)$ y $\sigma(n)$ el número de divisores positivos de $n$ y la suma de los divisores positivos de $n$, respectivamente. Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $\sigma(a^n)$ divide a $\sigma(b^n)$ para todo $n\in \mathbb{N}$. Demuestra que cada factor primo de $\tau(a)$ divide a $\tau(b)$.

Morteza tiene $100$ conjuntos. En cada paso, Mahdi puede elegir dos conjuntos distintos de ellos y Morteza le dice la intersección y la unión de esos dos conjuntos. Encuentra los mínimos pasos para que Mahdi pueda encontrar todos los conjuntos.