Demostrar que existe un subconjunto $S$ de enteros positivos tal que podemos representar cada entero positivo como la diferencia de dos elementos de $S$ de exactamente una manera.

En la figura de abajo, se da el área de los triángulos $AOD, DOC,$ y $AOB$. Encuentra el área del triángulo $OEF$ en términos del área de estos tres triángulos. [asy]\nimport graph; size(11.52cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-2.4,xmax=9.12,ymin=-6.6,ymax=5.16; \npair A=(0,0), F=(9,0), B=(4,0), C=(3.5,2), D=(1.94,2.59), O=(2.75,1.57); \ndraw(A--(3,4),linewidth(1.2)); draw((3,4)--F,linewidth(1.2)); draw(A--F,linewidth(1.2)); draw((3,4)--B,linewidth(1.2)); draw(A--C,linewidth(1.2)); draw(B--D,linewidth(1.2)); draw((3,4)--O,linewidth(1.2)); draw(C--F,linewidth(1.2)); draw(F--O,linewidth(1.2)); \ndot(A,ds); label('$A$',(-0.28,-0.23),NE*lsf); dot(F,ds); label('$F$',(8.79,-0.4),NE*lsf); dot((3,4),ds); label('$E$',(3.05,4.08),NE*lsf); dot(B,ds); label('$B$',(4.05,0.09),NE*lsf); dot(C,ds); label('$C$',(3.55,2.08),NE*lsf); dot(D,ds); label('$D$',(1.76,2.71),NE*lsf); dot(O,ds); label('$O$',(2.57,1.17),NE*lsf); \nclip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); [/asy]

Demostrar que existen infinitos enteros positivos que no pueden representarse como la suma de menos de $10$ cuadrados perfectos de enteros positivos impares.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncírculo $\omega$ y $M$ sea cualquier punto en $\omega$. Sean $E$ y $F$ la intersección de $AB, CD$ y $AD, BC$ respectivamente. $ME$ intersecta las líneas $AD, BC$ en $P, Q$ y similarmente $MF$ intersecta las líneas $AB, CD$ en $R, S$. Sean las líneas $PS$ y $RQ$ se encuentran en $X$. Demuestre que cuando $M$ varía sobre $\omega$, $MX$ pasa por un punto fijo.

Las aristas de un grafo planar $G$ están coloreadas con azul o rojo. Demuestre que existe un vértice como $v$ tal que cuando recorremos $v$ a través de un ciclo completo, las aristas con el punto final en $v$ cambian su color como máximo dos veces. Clarificaciones para ciclo completo: Si todas las aristas con un punto final en $v$ son $(v, u_1), (v, u_2), \ldots, (v, u_k)$ tales que $u_1, u_2, \ldots, u_k$ están en el sentido de las agujas del reloj con respecto a $v$, entonces en la secuencia de $(v, u_1), (v, u_2), \ldots, (v, u_k), (v, u_1)$ hay como máximo dos $j$ tales que los colores de $(v, u_j), (v, u_{j+1})$ ( $j \mod k$ ) difieren.

Sean $a, b$ dos enteros positivos relativamente primos. También sean $m, n$ enteros positivos con $n > m$. Demuestre que $lcm[am + b, a(m + 1) + b, ..., an + b] \ge (n+1) \cdot \binom{n}{m}$.

Una red infinita está dividida con dominós. Demuestre que existen otros tres mosaicos con dominós, que no tienen ningún dominó en común con el mosaico existente ni entre sí. Clarificaciones para la red: Significa un tablero infinito que consta de celdas cuadradas.

Sea $n > 1$ un número natural y $T_{n}(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_1 x^1 + a_0$. Suponga que para cada número real no nulo $t$ tenemos $T_{n}(t + \frac{1}{t}) = t^n + \frac{1}{t^n}$. Demuestre que para cada $0 \le i \le n-1$, $gcd(a_i, n) > 1$.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la $A$-altura. $E, F$ se definen en los segmentos $AD, BC$ respectivamente tales que $\frac{AE}{DE} = \frac{BF}{CF}$. Suponga que $G$ se encuentra en $AF$ tal que $BG \perp AF$. Demuestre que $EF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $CFG$.

Sean $a,b$ y $c$ números reales con $b,c >0.$ Pruebe que si $ a<b \ ( a>b),$ entonces \[\frac{a+c}{b+c} > \frac ab \qquad ( \frac{a+c}{b+c} < \frac ab) \] Y luego pruebe que $\frac{a+c}{b+c}$ está entre $1$ y $\frac ab.$