Supón que $ D,E,F$ son puntos en los lados $ BC,CA,AB$ de un triángulo $ ABC$ respectivamente tales que $ BD=CE=AF$ y $ \angle BAD=\angle CBE=\angle ACF$ . Demuestra que el triángulo $ ABC$ es equilátero.

Define la sucesión ( $x_n$ ) de la siguiente manera: el primer término es $1$ , los siguientes dos son $2,4$ , los siguientes tres son $5,7,9$ , los siguientes cuatro son $10,12,14,16$ , y así sucesivamente. Expresa $x_n$ como una función de $n$ .

Para cada entero $n > 3$ encuentra todas las cuádruplas $(n_1,n_2,n_3,n_4)$ de enteros positivos con $n_1 +n_2 +n_3 +n_4 = n$ que maximizan la expresión $$\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!n_4!}2^{ {n_1 \choose 2}+{n_2 \choose 2}+{n_3 \choose 2}+{n_4 \choose 2}+n_1n_2+n_2n_3+n_3n_4}$$.

Encuentra todos los enteros $n > 1$ para los cuales existe un conjunto $B$ de $n$ puntos en el plano tales que para cualquier $A \in B$ existen tres puntos $X,Y,Z \in B$ con $AX = AY = AZ = 1$ .

Para enteros coprimos $m > n > 1$ considera los polinomios $f(x) = x^{m+n} -x^{m+1} -x+1$ y $g(x) = x^{m+n} +x^{n+1} -x+1$ . Si $f$ y $g$ tienen un divisor común de grado mayor que $1$ , encuentra este divisor.

Sea $f : R^+ \to R$ una función estrictamente creciente tal que $f\left(\frac{x+y}{2}\right) < \frac{f(x)+ f(y)}{2}$ para todo $x,y > 0$ . Demuestra que la sucesión $a_n = f(n)$ ( $n \in N$ ) no contiene una progresión aritmética infinita.

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow [0,1] $ una función no decreciente. Pruebe que la secuencia $$ \left( \int_0^1 \frac{1+f^n(x)}{1+f^{1+n} (x)} \right)_{n\ge 1} $$ es convergente y calcule su límite.

Sea un grupo $ G $ de orden $ 1+p, $ donde $ p $ es un primo impar. Muestre que si $ p $ divide al número de automorfismos de $ G, $ entonces $ p\equiv 3\pmod 4. $

Sea $ f:\mathbb{R}\longrightarrow (0,\infty ) $ una función continua y periódica que tiene un período de $ 2, $ y tal que la integral $ \int_0^2 \frac{f(1+x)}{f(x)} dx $ existe. Muestre que $$ \int_0^2 \frac{f(1+x)}{f(x)} dx\ge 2, $$ con igualdad si y sólo si $ 1 $ también es un período de $ f. $

Un anillo $ A $ tiene la propiedad (P), si $ A $ es finito y existe $ (\{ 0\}\neq R,+)\le (A,+) $ tal que $ (U(A),\cdot )\cong (R,+) . $ Muestre que: a) Si un anillo tiene la propiedad (P), entonces el número de sus elementos es par. b) Hay infinitos anillos de orden distinto que tienen la propiedad (P).