Considere $n$ personas, cada una de ellas hablando a lo sumo $3$ idiomas. De cada $3$ personas hay al menos dos que hablan un idioma común. i) Para $n \le 8$, exhiba un ejemplo en el que ningún idioma es hablado por más de dos personas. ii) Para $n \ge 9$, demuestre que existe un idioma que es hablado por al menos tres personas

Sean $k$ y $n$ números enteros con $2 \le k \le n - 1$. Considere un conjunto $A$ de $n$ números reales tal que la suma de cualesquiera $k$ elementos distintos de $A$ es un número racional. Demuestre que todos los elementos del conjunto $A$ son números racionales.

Sea n un entero positivo y sean $x_1, x_2,...,x_n$ e $y_1, y_2,...,y_n$ números reales. Demuestre que existe un número $i, i = 1, 2,...,n$, tal que $$\sum_{j=1}^n |x_i - x_j | \le \sum_{j=1}^n |x_i - y_j | $$

Sea $A_1A_2A_3A_4A_5$ un pentágono convexo. Suponga que los rayos $A_2A_3$ y $A_5A_4$ se encuentran en el punto $X_1$. Defina $X_2$, $X_3$, $X_4$, $X_5$ de manera similar. Demuestre que $$\displaystyle\prod_{i=1}^{5} X_iA_{i+2} = \displaystyle\prod_{i=1}^{5} X_iA_{i+3}$$ donde los índices se toman módulo 5.

Sea un entero positivo balanceado si el número de sus factores primos distintos es igual al número de sus dígitos en la representación decimal; por ejemplo, el número $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$ es balanceado, mientras que $275 = 5^2 \cdot 11$ no lo es. Demuestre que existe sólo un número finito de números balanceados.

Encuentre todas las funciones $ f:[0,1]\longrightarrow [0,1] $ que sean biyectivas, continuas y tengan la propiedad de que, para cualquier función continua $ g:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} , $ se cumple la siguiente igualdad. $$ \int_0^1 g\left( f(x) \right) dx =\int_0^1 g(x) dx $$

Encuentre los números naturales $ n\ge 2 $ que tengan la propiedad de que el anillo de enteros módulo $ n $ tenga exactamente un elemento que no sea una suma de dos cuadrados.

a) Demuestre que el conjunto de nilpotentes de un anillo conmutativo finito es cerrado bajo cada una de las operaciones del anillo. b) Pruebe que el número de nilpotentes de un anillo conmutativo finito divide al número de divisores de cero del anillo.

Encuentre todas las funciones $ f\in\mathcal{C}^1 [0,1] $ que satisfagan $ f(1)=-1/6 $ y $$ \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx\le 2\int_0^1 f(x)dx. $$

Sea $ p\geq 5$ un número primo. Demuestra que para cualquier partición del conjunto $ P=\{1,2,3,...,p-1\}$ en $ 3$ subconjuntos existen números $ x,y,z$ cada uno perteneciente a un subconjunto distinto, tales que $ x+y\equiv z (mod p)$