Encuentra todos los números reales $x, y,z,t \in [0, \infty)$ tales que $$x + y + z \le t, \,\,\, x^2 + y^2 + z^2 \ge t \,\, y \,\,\,x^3 + y^3 + z^3 \le t.$$

Considera $\vartriangle ABC$ donde $\angle ABC= 60 ^o$ . Los puntos $M$ y $D$ están en los lados $(AC)$ , respectivamente $(AB)$ , tales que $\angle BCA = 2 \angle MBC$ , y $BD = MC$ . Determina $\angle DMB$ .

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ tenemos que $\angle BCD = \angle ADC \ge 90 ^o$ . Las bisectrices de $\angle BAD$ y $\angle ABC$ se intersecan en $M$ . Demuestra que si $M \in CD$ , entonces $M$ es el punto medio de $CD$ .

Los números $x, y, z, t, a$ y $b$ son enteros positivos, tales que $xt-yz = 1$ y $$\frac{x}{y} \ge \frac{a}{b} \ge \frac{z}{t} .$$ Demuestra que $$ab \le (x + z) (y +t)$$

Encuentra todos los enteros positivos $r$ con la propiedad de que existen números primos positivos $p$ y $q$ tales que $$p^2 + pq + q^2 = r^2 .$$

Define una sucesión de enteros por $a_0=1$ , y $a_n=\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}a_k$ , $n \geq 1$ . Sea $m$ un entero positivo , sea $p$ un primo , y sean $q$ y $r$ enteros no negativos . Demuestre que : $$a_{p^mq+r} \equiv a_{p^{m-1}q+r} \pmod{p^m}$$

Sea $n$ un entero mayor que $1$ , y sea $p$ un divisor primo de $n$ . Una confederación consiste en $p$ estados, cada uno de los cuales tiene exactamente $n$ aeropuertos. Hay $p$ compañías aéreas que operan vuelos interestatales solamente, de tal manera que cada dos aeropuertos en diferentes estados están unidos por un vuelo directo (de dos vías) operado por una de estas compañías. Determine el entero máximo $N$ que satisface la siguiente condición: En cada confederación de este tipo es posible elegir una de las $p$ compañías aéreas y $N$ de los $np$ aeropuertos de tal manera que uno puede viajar (no necesariamente directamente) desde cualquiera de los $N$ aeropuertos elegidos a cualquier otro sólo por vuelos operados por la compañía aérea elegida.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $P_1$ y $P_2$ puntos en el lado $AB$ tales que $P_2$ se encuentra en el segmento $BP_1$ y $AP_1 = BP_2$ ; de manera similar, sean $Q_1$ y $Q_2$ puntos en el lado $BC$ tales que $Q_2$ se encuentra en el segmento $BQ_1$ y $BQ_1 = CQ_2$ . Los segmentos $P_1Q_2$ y $P_2Q_1$ se encuentran en $R$ , y los círculos $P_1P_2R$ y $Q_1Q_2R$ se encuentran nuevamente en $S$ , situado dentro del triángulo $P_1Q_1R$ . Finalmente, sea $M$ el punto medio del lado $AC$ . Demuestre que los ángulos $P_1RS$ y $Q_1RM$ son iguales.

Sea $n$ un entero positivo . Si $\sigma$ es una permutación de los primeros $n$ enteros positivos , sea $S(\sigma)$ el conjunto de todas las sumas distintas de la forma $\sum_{i=k}^{l} \sigma(i)$ donde $1 \leq k \leq l \leq n$ . (a) Exhiba una permutación $\sigma$ de los primeros $n$ enteros positivos tal que $|S(\sigma)|\geq \left \lfloor{\frac{(n+1)^2}{4}}\right \rfloor $ . (b) Demuestre que $|S(\sigma)|>\frac{n\sqrt{n}}{4\sqrt{2}}$ para todas las permutaciones $\sigma$ de los primeros $n$ enteros positivos .

Dado un entero $k \geq 2$ , determine el número más grande de divisores que el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$ puede tener en el rango $n-k+1, \ldots, n$ , cuando $n$ recorre los enteros mayores o iguales que $k$ .