Sea $P$ un punto en un cuadrado cuyos lados son espejos. Un rayo de luz proviene de $P$ y tiene pendiente $\alpha$. Sabemos que este rayo de luz nunca llega a un vértice. Hacemos una secuencia infinita de $0,1$. Después de cada contacto del rayo de luz con un lado horizontal, ponemos $0$ , y después de cada contacto con un lado vertical, ponemos $1$. Para cada $n\geq 1$ , sea $B_{n}$ el conjunto de todos los bloques de longitud $n$ , en esta secuencia. a) Demuestra que $B_{n}$ no depende de la ubicación de $P$ . b) Demuestra que si $\frac{\alpha}{\pi}$ es irracional, entonces $|B_{n}|=n+1$.

El triángulo $ABC$ es isósceles ( $AB=AC$ ) . Desde $A$ , trazamos una línea $\ell$ paralela a $BC$ . $P,Q$ están en las bisectrices perpendiculares de $AB,AC$ tal que $PQ\perp BC$ . $M,N$ son puntos en $\ell$ tal que los ángulos $\angle APM$ y $\angle AQN$ son $\frac\pi2$ . Demuestra que \[\frac{1}{AM}+\frac1{AN}\leq\frac2{AB}\]

Encuentra todos los polinomios de grado 3, tales que para cada $x,y\geq 0$ : \[p(x+y)\geq p(x)+p(y)\]

$O$ es un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que $OA=OB+OC$. Supongamos que $B',C'$ son los puntos medios de los arcos $AOC$ y $AOB$. Demuestra que las circunferencias circunscritas $COC'$ y $BOB'$ son tangentes entre sí.

Supongamos que $n$ líneas en el plano son tales que no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Para cada dos líneas, su ángulo es un número real en $[0,\frac{\pi}2]$. Encuentra el valor más grande de la suma de los $\binom n2$ ángulos entre las líneas.

¿Existe una secuencia $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ en $\mathbb N$, tal que para cada $i\neq j, (a_{i},a_{j})=1$, y para cada $n$, el polinomio $\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ es irreducible en $\mathbb Z[x]$ ?

Sea $\omega$ la circunferencia inscrita de $ABC$. $P$ y $Q$ están en $AB$ y $AC$, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$ y es tangente a $\omega$. $AB,AC$ tocan a $\omega$ en $F,E$. Demuestra que si $M$ es el punto medio de $PQ$ y $T$ es el punto de intersección de $EF$ y $BC$, entonces $TM$ es tangente a $\omega$.

Encuentra todos los polinomios mónicos $f(x)$ en $\mathbb Z[x]$ tales que $f(\mathbb Z)$ es cerrado bajo la multiplicación.

En una mesa de billar con forma de triángulo rectángulo isósceles, una bola comienza a moverse desde uno de los vértices adyacentes a la hipotenusa. Cuando llega a un lado, refleja su trayectoria. Demuestra que si llegamos a un vértice, no es el vértice en la posición inicial

Encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación funcional: \[f(x^{2}+y+f(y))=2y+f(x)^{2}. ]