Sean $ABC$ y $ABD$ triángulos coplanares con perímetros iguales. Las rectas de soporte de las bisectrices internas de los ángulos $CAD$ y $CBD$ se encuentran en $P$ . Demuestre que los ángulos $APC$ y $BPD$ son congruentes.

Dados dos enteros $h \geq 1$ y $p \geq 2$ , determine el número mínimo de pares de oponentes que un parlamento de $hp$ miembros puede tener, si en cada partición del parlamento en $h$ cámaras de $p$ miembros cada una, alguna cámara contiene al menos un par de oponentes.

Si $k$ y $n$ son enteros positivos , y $k \leq n$ , sea $M(n,k)$ denote el mínimo común múltiplo de los números $n , n-1 , \ldots , n-k+1$ . Sea $f(n)$ el entero positivo más grande $ k \leq n$ tal que $M(n,1)<M(n,2)<\ldots <M(n,k)$ . Demuestre que : (a) $f(n)<3\sqrt{n}$ para todos los enteros positivos $n$ . (b) Si $N$ es un entero positivo , entonces $f(n) > N$ para todos los enteros positivos $n$ excepto un número finito de ellos .

Sean $(a_n)_{n \geq 0}$ y $(b_n)_{n \geq 0}$ sucesiones de números reales tales que $ a_0>\frac{1}{2}$ , $a_{n+1} \geq a_n$ y $b_{n+1}=a_n(b_n+b_{n+2})$ para todos los enteros no negativos $n$ . Demuestre que la sucesión $(b_n)_{n \geq 0}$ está acotada .

Dos círculos $\gamma $ y $\gamma'$ se cruzan entre sí en los puntos $A$ y $B$ . La tangente a $\gamma'$ en $A$ se encuentra nuevamente con $\gamma$ en $C$ , la tangente a $\gamma$ en $A$ se encuentra nuevamente con $\gamma'$ en $C'$ , y la recta $CC'$ separa los puntos $A$ y $B$ . Sea $\Gamma$ el círculo externamente tangente a $\gamma$ , externamente tangente a $\gamma'$ , tangente a la recta $CC'$ , y que se encuentra en el mismo lado de $CC'$ que $B$ . Demuestre que los círculos $\gamma$ y $\gamma'$ interceptan segmentos iguales en una de las tangentes a $\Gamma$ que pasa por $A$ .

Considere el retículo integral $\mathbb{Z}^n$ , $n \geq 2$ , en el espacio euclidiano $n$ - dimensional. Defina una recta en $\mathbb{Z}^n$ como un conjunto de la forma $a_1 \times \cdots \times a_{k-1} \times \mathbb{Z} \times a_{k+1} \times \cdots \times a_n$ donde $k$ es un entero en el rango $1,2,\ldots,n$ , y los $a_i$ son enteros arbitrarios. Un subconjunto $A$ de $\mathbb{Z}^n$ se llama admisible si no está vacío, es finito, y cada recta en $\mathbb{Z}^{n}$ que interseca a $A$ contiene al menos dos puntos de $A$ . Un subconjunto $N$ de $\mathbb{Z}^n$ se llama nulo si no está vacío, y cada recta en $\mathbb{Z}^n$ interseca a $N$ en un número par de puntos (posiblemente cero). (a) Demuestre que cada conjunto admisible en $\mathbb{Z}^2$ contiene un conjunto nulo. (b) Exhiba un conjunto admisible en $\mathbb{Z}^3$ ningún subconjunto del cual es un conjunto nulo .

Dado un número real positivo $t$ , determine los conjuntos $A$ de números reales que contienen $t$ , para los cuales existe un conjunto $B$ de números reales que depende de $A$ , $|B| \geq 4$ , tal que los elementos del conjunto $AB =\{ ab \mid a\in A , b \in B \}$ forman una progresión aritmética finita .

Sea $ABC$ un triángulo . Sea $A'$ el centro del círculo que pasa por el punto medio del lado $BC$ y las proyecciones ortogonales de $B$ y $C$ sobre las rectas de soporte de las bisectrices internas de los ángulos $ACB$ y $ABC$ , respectivamente ; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar . Demuestre que el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC$ y la circunferencia circunscrita de $A'B'C'$ son concéntricos.

Sea $a$ un entero y $n$ un entero positivo . Demuestre que la suma : $$\sum_{k=1}^{n} a^{(k,n)}$$ es divisible por $n$ , donde $(x,y)$ es el máximo común divisor de los números $x$ e $y$ .

Problema 4. Sea t $\left( A,+,\cdot \right)$ un anillo con la propiedad que $x=0$ es la única solución de la ${{x}^{2}}=0,x\in A$ e cuación. Sea $B=\left\{ a\in A|{{a}^{2}}=1 \right\}$ . Probar que: (a) $ab-ba=bab-a$ , cualquiera que sea $a\in A$ y $b\in B$ . (b) $\left( B,\cdot \right)$ es un grupo