Por un pliegue de un papel con forma de polígono, nos referimos a dibujar un segmento en el papel y doblar el papel a lo largo de ese. Suponga que se da un papel con la siguiente figura. Cortamos el papel a lo largo del límite de la región sombreada para obtener un papel con forma de polígono. Comience con este polígono sombreado y haga un papel con forma de rectángulo a partir de él con un máximo de 5 pliegues. Describa su solución introduciendo las líneas de plegado y dibujando la forma después de cada pliegue en su hoja de solución. (Tenga en cuenta que las líneas de plegado no tienen que coincidir con las líneas de la cuadrícula de la forma.)

¿Existe una secuencia $ \{b_{i}\}_{i=1}^\infty$ de números reales positivos tal que para cada $ m$ natural: \[ b_{m}+b_{2m}+b_{3m}+\dots=\frac1m\]

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb Q\longrightarrow\mathbb Q$ tales que: $ f(x)+f(\frac1x)=1$ $ 2f(f(x))=f(2x)$

En el triángulo $ABC$ sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro. El punto $P$ es la reflexión de $A$ con respecto a $OH$. Asuma que $P$ no está en el mismo lado de $BC$ que $A$. Los puntos $E,F$ se encuentran en $AB,AC$ respectivamente tales que $BE=PC \ , \ CF=PB$. Sea $K$ el punto de intersección de $AP,OH$. Demuestra que $\angle EKF = 90 ^{\circ}$

Sea $\left \{ c_i \right \}_{i=0}^{\infty}$ una secuencia de números reales no negativos con $c_{2017}>0$. Una secuencia de polinomios se define como $$P_{-1}(x)=0 \ , \ P_0(x)=1 \ , \ P_{n+1}(x)=xP_n(x)+c_nP_{n-1}(x).$$ Demuestra que no existe ningún entero $n>2017$ y algún número real $c$ tal que $$P_{2n}(x)=P_n(x^2+c).$$

Hay $6$ puntos en el plano tales que no hay tres de ellos colineales. Se sabe que entre cada $4$ puntos de ellos, existe un punto que su potencia con respecto al círculo que pasa por los otros tres puntos es un valor constante $k$. (La potencia de un punto en el interior de un círculo tiene un valor negativo). Demuestra que $k=0$ y los $6$ puntos se encuentran en un círculo.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb {R}^+ \times \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+$ que satisfacen las siguientes condiciones para todos los números reales positivos $x,y,z:$ $$f\left ( f(x,y),z \right )=x^2y^2f(x,z)$$ $$f\left ( x,1+f(x,y) \right ) \ge x^2 + xyf(x,x)$$

Sea $P$ un punto en el interior del cuadrilátero $ABCD$ tal que: $$\angle BPC=2\angle BAC \ \ ,\ \ \angle PCA = \angle PAD \ \ ,\ \ \angle PDA=\angle PAC$$ Demuestra que: $$\angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |$$

Sea $n>1$ un entero. Demuestra que existe un entero $n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ tal que la siguiente ecuación tiene soluciones enteras con $a_m>0:$ $$\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}$$

Los miembros de la sociedad 'Acertijos Profesionales' se han dividido en algunos grupos, y los grupos se cambian de una manera especial cada fin de semana: En cada grupo, uno de los miembros se especifica como el mejor miembro, y los mejores miembros de todos los grupos se separan de su grupo anterior y forman un nuevo grupo. Si un grupo tiene sólo un miembro, ese miembro se une al nuevo grupo y el grupo anterior será eliminado. Suponga que la sociedad tiene $n$ miembros al principio, y todos los miembros están en un grupo. Pruebe que llegará una semana, después de la cual el número de miembros de cada grupo será como máximo $1+\sqrt{2n}$ .