137 Demuestre que de cualquier conjunto de $200$ enteros se puede elegir un subconjunto de $100$ cuya suma total sea divisible por $100$.

131 ¿Cuántos lados de un polígono convexo pueden ser iguales a su diagonal más larga?

Nicholas y Peter están repartiendo $(2n+1)$ nueces. Cada uno quiere obtener más. Se sugirieron tres formas para ello. (Cada una consta de tres etapas). Las dos primeras etapas son comunes. Etapa 1: Peter divide las nueces en $2$ montones, cada uno conteniendo no menos de $2$ nueces. Etapa 2: Nicholas divide ambos montones en $2$ montones, cada uno conteniendo no menos de $1$ nuez. Etapa 3: Forma 1: Nicholas toma el montón más grande y el más pequeño. Forma 2: Nicholas toma los dos montones de tamaño intermedio. Forma 3: Nicholas toma el montón más grande y el más pequeño o los dos montones de tamaño intermedio, pero le da una nuez a Peter por el derecho de elección. Encuentre el método más y menos rentable para Nicholas.

112 El círculo inscrito en el triángulo $ABC$ toca el lado $[AC]$ en el punto $K$. Demuestre que la recta que conecta el punto medio del lado $[AC]$ con el centro del círculo biseca el segmento $[BK]$.

157 a) Considere la función $$f(x,y) = x^2 + xy + y^2$$. Demuestre que para todo punto $(x,y)$ existen enteros $(m,n)$ tales que $$f((x-m),(y-n)) \le 1/2$$. b) Denotemos con $g(x,y)$ el menor valor posible de $f((x-m),(y-n))$ para todos los enteros $m,n$. La afirmación a) era equivalente al hecho de que $g(x,y) \le 1/2$. Demuestre que, de hecho, $$g(x,y) \le 1/3$$. Encuentre todos los puntos $(x,y)$ donde $g(x,y)=1/3$. c) Considere la función $$f_a(x,y) = x^2 + axy + y^2 \,\,\, (0 \le a \le 2)$$. Encuentre cualquier $c$ tal que $g_a(x,y) \le c$. Intente obtener la estimación más cercana.

078 Demuestre que siempre se puede colocar un círculo de radio $S/P$ dentro de un polígono convexo con perímetro $P$ y área $S$.

051 Dados los números naturales $a,b,n$. Se sabe que para todo número natural $k$ ($k\ne b$), el número $a-k^n$ es divisible por $b-k$. Demuestre que $$a=b^n$$

030 Sean $a$ y $b$ números naturales primos entre sí. Demuestre que el máximo común divisor de $(a+b)$ y $(a^2+b^2)$ es $1$ o $2$.

2 Considere $120$ cuadrados unitarios situados arbitrariamente en un rectángulo de $20\times 25$. Demuestre que se puede colocar un círculo de diámetro unitario en el rectángulo sin intersecar ninguno de los cuadrados.

023 ¿Cuál es el área máxima que puede tener un triángulo si sus lados $a,b,c$ satisfacen la desigualdad $$0\le a\le 1\le b\le 2\le c\le 3 ?$$