134 Dados cinco segmentos. Es posible construir un triángulo con cada subconjunto de tres de ellos. Demuestre que al menos uno de esos triángulos es acutángulo.

136 Dados cinco números binarios de $n$ dígitos. Para cada par de números, sus dígitos coinciden exactamente en $m$ posiciones. No existe ninguna posición con el mismo dígito para los cinco números. Demuestre que $$2/5 \le m/n \le 3/5$$

011 Demuestre que para tres sucesiones infinitas arbitrarias de números naturales $a_1,a_2,...,a_n,...$ , $b_1,b_2,...,b_n,...$ , $c_1,c_2,...,c_n,...$ existen números $p$ y $q$ tales que $a_p \ge a_q$ , $b_p \ge b_q$ y $c_p \ge c_q$ .

8 Defina la operación $\bigoplus$ en el conjunto de los números reales tal que \[x \bigoplus y = x+y-xy \qquad \forall x,y \in \mathbb R.\] Demuestre que esta operación es asociativa. Amir

130 El producto de tres números positivos es igual a uno, su suma es estrictamente mayor que la suma de sus inversos. Demuestre que uno y solo uno de ellos es mayor que uno.

044 Dado un conjunto arbitrario de $2k+1$ enteros $\{a_1,a_2,...,a_{2k+1}\}$. Formamos un nuevo conjunto $$ \{(a_1+a_2)/2, (a_2+a_3)/2, ..., (a_{2k}+a_{2k+1})/2, (a_{2k+1}+a_1)/2\}$$ y uno nuevo, siguiendo la misma regla, y así sucesivamente... Demuestre que si obtenemos solo números enteros, el conjunto inicial consistía únicamente en enteros iguales.

047 Se trazan cuatro perpendiculares desde los vértices de un cuadrilátero convexo a sus diagonales. Demuestre que sus bases forman un cuadrilátero semejante al dado.

041 Las dos alturas en el triángulo no son menores que los lados respectivos. Encuentre los ángulos.

157 a) Considere la función $$f(x,y) = x^2 + xy + y^2$$. Demuestre que para todo punto $(x,y)$ existen enteros $(m,n)$ tales que $$f((x-m),(y-n)) \le 1/2$$. b) Denotemos con $g(x,y)$ el menor valor posible de $f((x-m),(y-n))$ para todos los enteros $m,n$. La afirmación a) era equivalente al hecho de que $g(x,y) \le 1/2$. Demuestre que, de hecho, $$g(x,y) \le 1/3$$. Encuentre todos los puntos $(x,y)$ donde $g(x,y)=1/3$. c) Considere la función $$f_a(x,y) = x^2 + axy + y^2 \,\,\, (0 \le a \le 2)$$. Encuentre cualquier $c$ tal que $g_a(x,y) \le c$. Intente obtener la estimación más cercana.

Dados los primeros $1000000000$ números naturales. Reemplazamos cada número por la suma de sus dígitos y repetimos este procedimiento hasta que queden $1000000000$ números de un solo dígito. ¿Hay más " $1$ " -s o " $2$ " -s?