029 a) Cada diagonal del cuadrilátero divide su área a la mitad. Demuestre que es un paralelogramo. b) Las tres diagonales principales del hexágono dividen su área a la mitad. Demuestre que se intersecan en un mismo punto.

050 El cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito alrededor del círculo con centro $O$. Demuestre que $$\angle AOB+ \angle COD=180^o. $$

033 Un tablero de ajedrez de $6\times 6$ está recubierto con dominós de $2\times 1$. Demuestre que se puede cortar el tablero en dos partes mediante una línea recta que no corte ningún dominó.

051 Dados los números naturales $a,b,n$. Se sabe que para todo número natural $k$ ($k\ne b$), el número $a-k^n$ es divisible por $b-k$. Demuestre que $$a=b^n$$

054 Encuentre el cuadrado perfecto más pequeño con su última cifra distinta de $0$, tal que al eliminar sus dos últimas cifras se obtenga otro cuadrado perfecto.

132 Los dígitos del número de $17$ dígitos se reordenan en orden inverso. Demuestre que al menos un dígito de la suma del nuevo número y el número inicial es par.

084 a) La altura máxima $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$. Demuestre que el ángulo $ABC$ no es mayor a $60$ grados. b) La altura $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$ y a la bisectriz $|CD|$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

044 Dado un conjunto arbitrario de $2k+1$ enteros $\{a_1,a_2,...,a_{2k+1}\}$. Formamos un nuevo conjunto $$ \{(a_1+a_2)/2, (a_2+a_3)/2, ..., (a_{2k}+a_{2k+1})/2, (a_{2k+1}+a_1)/2\}$$ y uno nuevo, siguiendo la misma regla, y así sucesivamente... Demuestre que si obtenemos solo números enteros, el conjunto inicial consistía únicamente en enteros iguales.

045 a) Dado un hexágono convexo $ABCDEF$ con todos los ángulos iguales. Demuestre que $$|AB|-|DE| = |EF|-|BC| = |CD|-|FA|$$ b) El problema recíproco: Demuestre que es posible construir un hexágono convexo con ángulos iguales de seis segmentos $a_1,a_2,...,a_6$, cuyas longitudes satisfacen la condición $$a_1-a_4 = a_5-a_2 = a_3-a_6$$

007 Dada una tabla de $m\times n$ con números en sus casillas. Se permite cambiar el signo de todos los números en una fila o en una columna simultáneamente. Demuestre que es posible obtener una tabla con sumas no negativas en cada fila y en cada columna.