Dado cualquier primo $p \ge 3$ . Muestre que para todo entero positivo $x$ suficientemente grande, al menos uno de $x+1,x+2,\cdots,x+\frac{p+3}{2}$ tiene un divisor primo mayor que $p$ .

En un cuadrilátero $ABCD$ , $\angle ABC=\angle ADC <90^{\circ}$ . El círculo con diámetro $AC$ interseca a $BC$ y $CD$ nuevamente en $E,F$ , respectivamente. $M$ es el punto medio de $BD$ , y $AN \perp BD$ en $N$ . Demuestre que $M,N,E,F$ son concíclicos.

Considere el conjunto $I=\{ 1,2, \cdots, 2020 \}$ . Sean $W= \{w(a,b)=(a+b)+ab | a,b \in I \} \cap I$ , $Y=\{y(a,b)=(a+b) \cdot ab | a,b \in I \} \cap I$ sus dos subconjuntos. Además, sea $X= W \cap Y$ . (1) Encuentra la suma de los elementos máximo y mínimo en $X$ . (2) Un elemento $n=y(a,b) (a \le b)$ en $Y$ se llama excelente , si su representación no es única (por ejemplo, $20=y(1,5)=y(2,3)$ ) . Encuentra el número de elementos excelentes en $Y$ . Nota (2) es solo para el grado 11.

Sean $a_1,a_2,\dots, a_{17}$ una permutación de $1,2,\dots, 17$ tal que $(a_1-a_2)(a_2-a_3)\dots(a_{17}-a_1)=n^{17}$ . Encuentre el máximo valor posible de $n$ .

Dado un polinomio $f(x)=x^{2020}+\sum_{i=0}^{2019} c_ix^i$ , donde $c_i \in \{ -1,0,1 \}$ . Denotemos por $N$ el número de raíces enteras positivas de $f(x)=0$ (contando multiplicidad). Si $f(x)=0$ no tiene raíces enteras negativas, encuentra el máximo de $N$ .

En un triángulo escaleno $\Delta ABC$ , $AB<AC$ , $PB$ y $PC$ son tangentes a la circunferencia circunscrita $(O)$ de $\Delta ABC$ . Un punto $R$ se encuentra en el arco $\widehat{AC}$ (que no contiene a $B$ ) , $PR$ interseca a $(O)$ nuevamente en $Q$ . Suponga que $I$ es el incentro de $\Delta ABC$ , $ID \perp BC$ en $D$ , $QD$ interseca a $(O)$ nuevamente en $G$ . Una línea que pasa por $I$ y es perpendicular a $AI$ interseca a $AB,AC$ en $M,N$ , respectivamente. Demuestre que, si $AR \parallel BC$ , entonces $A,G,M,N$ son concíclicos.

Sea $f(x)=a(3a+2c)x^2-2b(2a+c)x+b^2+(c+a)^2$ $(a,b,c\in R, a(3a+2c)\neq 0).$ Si $$f(x)\leq 1$$ para cualquier $x$ real, encuentra el máximo de $|ab|.$

Se da un número real $\alpha \geq 0$. Encuentra el $\lambda = \lambda (\alpha ) > 0$ más pequeño, tal que para cualquier número complejo ${z_1},{z_2}$ y $0 \leq x \leq 1$, si $\left| {{z_1}} \right| \leq \alpha \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$, entonces $\left| {{z_1} - x{z_2}} \right| \leq \lambda \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$.

Sean $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales, donde $n\ge 2$, que satisfacen $\sum_{i=1}^{n}x^2_i+ \sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}=1$. Para cada $k$, encuentre el valor máximo de $|x_k|$.

Sea $D$ un punto dentro del triángulo agudo $ABC$ que satisface la condición \n$DA\cdot DB\cdot AB+DB\cdot DC\cdot BC+DC\cdot DA\cdot CA=AB\cdot BC\cdot CA$. \nDetermine (con prueba) la posición geométrica del punto $D$.