Para un entero positivo dado $n\ge 2$ , suponga que los enteros positivos $a_i$ donde $1\le i\le n$ satisfacen $a_1<a_2<\ldots <a_n$ y $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\le 1$ . Demuestre que, para cualquier número real $x$ , se cumple la siguiente desigualdad \[\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i^2+x^2}\right)^2\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a_1(a_1-1)+x^2} \]

Para un número real dado $a$ y un entero positivo $n$ , demuestre que: i) existe exactamente una secuencia de números reales $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ tal que \[\begin{cases} x_0=x_{n+1}=0,\\ \frac{1}{2}(x_i+x_{i+1})=x_i+x_i^3-a^3,\ i=1,2,\ldots,n.\end{cases}\] ii) la secuencia $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ en i) satisface $|x_i|\le |a|$ donde $i=0,1,\ldots,n+1$ .

En el triángulo $ABC$, $\angle{C}=90^{\circ},\angle {A}=30^{\circ}$ y $BC=1$. Encuentre el valor mínimo del lado más largo de todos los triángulos inscritos (es decir, triángulos con vértices en cada uno de los tres lados) del triángulo $ABC$.

Sea $n$ un número natural. Suponga que $x_0=0$ y que $x_i>0$ para todos $i\in\{1,2,\ldots ,n\}$. Si $\sum_{i=1}^nx_i=1$, demuestre que \[1\leq\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{\sqrt{1+x_0+x_1+\ldots +x_{i-1}}\sqrt{x_i+\ldots+x_n}} < \frac{\pi}{2} \]

$8$ cantantes participan en un festival. El organizador quiere planificar $m$ conciertos. Para cada concierto hay $4$ cantantes que suben al escenario, con la restricción de que los tiempos en los que cada dos cantantes suben al escenario en un concierto son todos iguales. Encuentre un horario que minimice $m$.

Demuestra que para cualquier entero $a \ge 2$ y entero positivo $n,$ existe un entero positivo $k$ tal que $a^k+1,a^k+2,\ldots,a^k+n$ son todos números compuestos.

Sea el conjunto $A=\{1,2,\ldots,n\} ,$ y $X,Y$ dos subconjuntos (no necesariamente distintos) de $A.$ Define que $\textup{max} X$ y $\textup{min} Y$ representan el elemento mayor de $X$ y el elemento menor de $Y,$ respectivamente. Determina el número de tuplas $(X,Y)$ que satisfacen $\textup{max} X>\textup{min} Y.$

En el triángulo $\triangle ABC, AB=AC.$ Sea $D$ en el segmento $AC$ y $E$ un punto en la línea extendida $BC$ tal que $C$ se encuentra entre $B$ y $E$ y $\frac{AD}{DC}=\frac{BC}{2CE}$ . Sea $\omega$ el círculo con diámetro $AB,$ y $\omega$ intersecta el segmento $DE$ en $F.$ Demuestra que $B,C,F,D$ son concíclicos.

Sean $a,b \in \mathbb R,f(x)=ax+b+\frac{9}{x}.$ Demuestra que existe $x_0 \in \left[1,9 \right],$ tal que $|f(x_0)| \ge 2.$

Encuentre un número $n \geq 9$ tal que para cualquier $n$ números, no necesariamente distintos, $a_1,a_2, \ldots , a_n$, existen 9 números $a_{i_1}, a_{i_2}, \ldots , a_{i_9}, (1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_9 \leq n)$ y $b_i \in {4,7}, i =1, 2, \ldots , 9$ tal que $b_1a_{i_1} + b_2a_{i_2} + \ldots + b_9a_{i_9}$ es un múltiplo de 9.