Sea $C$ una circunferencia, $O$ es su circuncentro, $AB$ es su diámetro y $R$ es cualquier punto en $C$ ($R$ es diferente de $A$ y $B$) Sea $P$ el pie de la perpendicular de $O$ a $AR$, en la línea $OP$ encontramos un punto $Q$, donde $QP$ es $\frac{OP}{2}$ y el punto $Q$ no está en el segmento $OP$. En $Q$, haremos una línea paralela a $AB$ que corta la línea $AR$ en $T$. Denotamos $H$ el punto de intersección de la línea $AQ$ y $OT$. Demuestra que $H$, $B$ y $R$ son colineales.

Tenemos $98$ cartas, en cada una escribiremos uno de los números: $1, 2, 3, 4,...., 97, 98$. Podemos ordenar las $98$ cartas, en una secuencia tal que dos números consecutivos $X$ e $Y$ y el número $X - Y$ es mayor que $48$, determine cómo y de cuántas maneras podemos hacer esta secuencia!!

Encuentra todos los números primos $ p,q,r$ , tales que $ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1$

Determina el mayor número con $n$ dígitos en la representación decimal que es divisible por $429$ y tiene la suma de todos los dígitos menor o igual que $11$.

Demuestra que $2^n + 3^n$ no es un cubo perfecto para ningún entero positivo $n$.

Sea $p$ un número primo. Encuentra todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que: $\frac{4a + p}{b}+\frac{4b + p}{a}$ y $ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$ son enteros.

Sean $a, b, c, d, e, f$ dígitos distintos de cero tales que los números naturales $\overline{abc}, \overline{def}$ y $\overline{abcdef }$ son cuadrados. a) Demuestra que $\overline{abcdef}$ puede representarse de dos maneras diferentes como una suma de tres cuadrados de números naturales. b) Da un ejemplo de tal número.

Encuentra todos los enteros $n$ tales que $n^4 + 8n + 11$ es un producto de dos o más enteros consecutivos.

Sea $s(a)$ la suma de los dígitos de un entero positivo dado $a$. La secuencia $a_1, a_2,..., a_n, ...$ de enteros positivos es tal que $a_{n+1} = a_n+s(a_n)$ para cada entero positivo $n$. Encuentra el mayor valor posible de $n$ para el cual es posible tener $a_n = 2008$.

Sea $n \ge 2$ un entero positivo fijo. Un entero será llamado ' $n$ - libre' si no es un múltiplo de una $n$ - ésima potencia de un primo. Sea $M$ un conjunto infinito de números racionales, tal que el producto de cada $n$ elementos de $M$ es un entero $n$ - libre. Pruebe que $M$ contiene solo enteros.