A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco números es positiva. Si a tres vértices consecutivos se les asignan los números $x, y, z$ respectivamente, y $y < 0$, entonces se permite la siguiente operación: $x, y, z$ se reemplazan por $x + y, -y, z + y$ respectivamente. Tal operación se realiza repetidamente mientras al menos uno de los cinco números sea negativo. Determinar si este procedimiento necesariamente llega a su fin después de un número finito de pasos.

Dado un punto $P_0$ en el plano del triángulo $A_1A_2A_3$. Define $A_s = A_{s-3}$ para todo $s \ge 4$. Construir un conjunto de puntos $P_1, P_2, P_3, \ldots$ tal que $P_{k+1}$ es la imagen de $P_k$ bajo una rotación con centro $A_{k+1}$ a través de un ángulo de $120^o$ en el sentido de las agujas del reloj para $k = 0, 1, 2, \ldots$. Demostrar que si $P_{1986} = P_0$, entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.

Sea $d$ cualquier entero positivo diferente de $2, 5$ o $13$. Demostrar que se pueden encontrar distintos $a, b$ en el conjunto $\{2, 5, 13, d\}$ tal que $ab - 1$ no sea un cuadrado perfecto.

Sea $s(n)$ denote la suma de los dígitos de un entero positivo $n$. Usando seis dígitos diferentes, formamos tres números de 2 dígitos $p, q, r$ tales que $$p \cdot q \cdot s(r) = p\cdot s(q) \cdot r = s (p) \cdot q \cdot r.$$ Encuentra todos esos números $p, q, r$.

Encuentra todos los tres números reales $(x, y, z)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}$$ $$x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx + 4$$

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ con la propiedad de que en el conjunto $\{70, 71, 72,... 70 + n\}$ puedes elegir dos números diferentes cuyo producto es el cuadrado de un entero.

Encuentra el número de pares $(a, b)$ de enteros positivos con la propiedad de que el máximo común divisor de $a$ y $b$ es igual a $1\cdot 2 \cdot 3\cdot ... \cdot50$, y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ es $1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2\cdot ... \cdot 50^2$.

Sean los números $x_i \in \{-1, 1\}$ dados para $i = 1, 2,..., n$, que satisfacen $$x_1x_2 + x_2x_3 +... + x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0.$$ Demuestra que $n$ es divisible por $4$.

Considera un trapecio $ABCD$ con bases $AB$ y $CD$ que satisfacen $|AB| > |CD|$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea el punto $P$ dentro de $ABCD$ tal que $|AD| = |PC|$ y $|BC| = |PD|$. Demuestra que si $| \angle CMD | = 90^o$, entonces los cuadriláteros $AMPD$ y $BMPC$ tienen la misma área.

Se da un heptágono regular $ABCDEFG$. Las líneas $AB$ y $CE$ se intersecan en $P$. Encuentra la medida del ángulo $\angle PDG$.