Niños rojos, azules y verdes están dispuestos en un círculo. Cuando una maestra les pidió a los niños rojos que tienen un vecino verde que levantaran la mano, $20$ niños levantaron la mano. Cuando les preguntó a los niños azules que tienen un vecino verde que levantaran la mano, $25$ niños levantaron la mano. Demuestra que algún niño que levantó la mano tenía dos vecinos verdes.

Demuestra que $\lfloor{\sqrt{9n+7}}\rfloor=\lfloor{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}\rfloor$ para todo entero positivo $n$ .

¿De cuántas maneras podemos llenar las celdas de una cuadrícula de $4\times4$ tal que cada celda contenga exactamente un entero positivo y el producto de los números en cada fila y cada columna sea $2020$?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Su incírculo toca los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente. Sean $P$ , $Q$ y $R$ los circuncentros de los triángulos $AEF$ , $BDF$ y $CDE$ , respectivamente. Demuestre que los triángulos $ABC$ y $PQR$ son semejantes.

Sea $ABC$ un triángulo y en los lados dibujamos, externamente, los cuadrados $BADE, CBFG$ y $ACHI$ . Determine la mayor constante real positiva $k$ tal que, para cualquier triángulo $\triangle ABC$ , la siguiente desigualdad es verdadera: $[DEFGHI]\geq k\cdot [ABC]$ Nota: $[X]$ denota el área del polígono $X$ .

a) Encuentra un par(es) de enteros $(x,y)$ tal que: $y^2=x^3+2017$ \nb) Demuestra que no hay enteros $x$ e $y$ , con $y$ no divisible por $3$ , tal que: $y^2=x^3-2017$

En cierto país, las monedas tienen los siguientes valores: $2^0, 2^1, 2^2,\dots 2^{10}$ . Una máquina de efectivo tiene $1000$ monedas de cada valor y da el dinero usando cada moneda (de cada valor) como máximo una vez. Los clientes ordenan todos los enteros positivos: $1,2,3,4,5,\dots$ (en este orden) en monedas. a) Determine el primer entero, tal que la máquina de efectivo no puede proporcionar. b) En el momento en que el primer cliente no puede ser atendido, por la falta de monedas, ¿cuáles son las monedas que no están disponibles en la máquina de efectivo?

Dado un conjunto finito de puntos en el plano, cada uno con coordenadas enteras, ¿es siempre posible colorear los puntos de rojo o blanco de modo que para cualquier línea recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas la diferencia (en valor absoluto) entre el número de puntos blancos y rojos en $L$ no sea mayor que $1$?

Hallar todas las funciones $f$ definidas en los reales no negativos y que toman valores reales no negativos tales que: $f(2) = 0, f(x) \ne 0$ para $0 \le x < 2$, y $f(xf(y))f(y) = f(x + y)$ para todo $x, y$.

Sean $A, B$ vértices adyacentes de un $n$-gono regular ($n \ge 5$) con centro $O$. Un triángulo $XYZ$, que es congruente e inicialmente coincide con $OAB$, se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan todo el borde del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Encontrar el lugar geométrico de $X$.