El pentágono $ABCDE$ está inscrito en el círculo $\Omega$ . La línea $AD$ se encuentra con $CE$ en $F$ , y $P (\neq E, F)$ es un punto en el segmento $EF$ . La circunferencia del triángulo $AFP$ se encuentra con $\Omega$ en $Q(\neq A)$ y $AC$ en $R(\neq A)$ . La línea $AD$ se encuentra con $BQ$ en $S$ , y la circunferencia del triángulo $DES$ se encuentra con la línea $BQ, BD$ en $T(\neq S), U(\neq D)$ , respectivamente. Demuestra que si $F, P, T, S$ son concíclicos, entonces $P, T, R, U$ son concíclicos.

Para un entero positivo dado $n(\ge 2)$ , encuentra el máximo entero positivo $A$ tal que exista $P \in \mathbb{Z}[x]$ con grado $n$ que satisfaga las siguientes dos condiciones. Para cualquier $1 \le k \le A$ , satisface que $A \mid P(k)$ , y $P(0)= 0$ y el coeficiente del primer término de $P$ es $1$ , lo que significa que $P(x)$ está en la siguiente forma donde $c_2, c_3, \cdots, c_n$ son todos enteros y $c_n \neq 0$ . \n$$P(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1}+\dots+c_2x^2+x$$

Los conjuntos $A_0, A_1, \dots, A_{2023}$ satisfacen las siguientes condiciones: \n$A_0 = \{ 3 \}$ \n$A_n = \{ x + 2 \mid x \in A_{n - 1} \} \cup \{x(x+1) / 2 \mid x \in A_{n - 1} \}$ para cada $n = 1, 2, \dots, 2023$ . \nEncuentra $|A_{2023}|$ .

Una secuencia de números reales positivos $\{ a_n \}$ se define a continuación. \n$$a_0 = 1, a_1 = 3, a_{n+2} = \frac{a_{n+1}^2+2}{a_n}$$ \nDemuestra que para todo entero no negativo $n$ , $a_n$ es un entero positivo.

Encuentra todos los pares de dos enteros positivos $(m,n)$ que satisfacen $ 3^m - 7^n = 2 $ .

Hay un tablero de $m \times (m-1)$ . (es decir, hay $m+1$ líneas horizontales y $m$ líneas verticales) Se coloca una piedra en una intersección de la línea horizontal más baja. Ahora dos jugadores mueven esta piedra con las siguientes reglas. (i) Cada jugador mueve la piedra a una intersección vecina a lo largo de un segmento, por turnos. (ii) Un segmento, que ya ha sido pasado por la piedra, no puede ser usado más. (iii) El que no puede mover más la piedra pierde. Demuestra que hay una estrategia ganadora para el primer jugador.

$ABC$ es un triángulo acutángulo. (el ángulo $C$ es mayor que el ángulo $B$ ) Sea $O$ el centro del círculo que pasa por $B$ y es tangente a $AC$ en $C$ . $O$ se encuentra con el segmento $AB$ en $D$ . $CO$ se encuentra con el círculo $(O)$ de nuevo en $P$ , una línea, que pasa por $P$ y es paralela a $AO$ , se encuentra con $AC$ en $E$ , y $EB$ se encuentra con el círculo $(O)$ de nuevo en $L$ . Una bisectriz perpendicular de $BD$ se encuentra con $AC$ en $F$ y $LF$ se encuentra con $CD$ en $K$ . Demuestra que las dos líneas $EK$ y $CL$ son paralelas.

Hay 2008 piedras blancas y 1 piedra negra en una fila. Una 'acción' significa lo siguiente: seleccionar una piedra negra y cambiar el color de las piedras vecinas. Encuentra todas las posiciones iniciales posibles de la piedra negra, para hacer que todas las piedras sean negras mediante acciones finitas.

$ABC$ es un triángulo obtuso. (el ángulo $B$ es obtuso) Su circuncírculo es $O$ . Una línea tangente a $O$ que pasa por $C$ se encuentra con $AB$ en $B_1$ . Sea $O_1$ el circuncentro del triángulo $AB_1C$ . $B_2$ es un punto en el segmento $BB_1$ . Sea $C_1$ un punto de contacto de la línea tangente a $O$ que pasa por $B_2$ , que está más cerca de $C$ . Sea $O_2$ un circuncentro del triángulo $AB_2C_1$ . Demuestra que si $OO_2$ y $AO_1$ son perpendiculares, entonces los cinco puntos $O,O_2,O_1,C_1,C$ son concíclicos.

Sean $a,b,c$ las longitudes de los tres lados de un triángulo. Sea $A= \frac{a^2 +bc}{b+c}+\frac{b^2 +ca}{c+a}+\frac{c^2 +ab}{a+b}$ , $B=\frac{1}{\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)}}+\frac{1}{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)}}$ $+\frac{1}{\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}}$ . Demuestra que $AB \ge 9$ .