Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle A, \angle B, \angle C$ son agudos. $AB$ y $CD$ se encuentran en $E$ y $BC,DA$ se encuentran en $F$ . Sean $K,L,M,N$ los puntos medios de $AB,BC,CD,DA$ respectivamente. $KM$ se encuentra con $BC,DA$ en $X$ e $Y$ , y $LN$ se encuentra con $AB,CD$ en $Z$ y $W$ . Demostrar que la línea que pasa por $E$ y el punto medio de $ZW$ es paralela a la línea que pasa por $F$ y el punto medio de $XY$ .

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tal que se pueda particionar un tablero de $m\times n$ con dominós de $1\times 2$ o $2\times 1$ y dibujar una de las diagonales en cada uno de los dominós tal que ninguna de las diagonales compartan puntos finales.

Define la secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ como \[ a_1 = a_2 = 1,\quad a_{n+2} = 14a_{n+1} - a_n \; (n \geq 1) \] Demostrar que si $p$ es primo y existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{a_n}p$ es un entero, entonces $\frac{p-1}{12}$ también es un entero.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero sin lados paralelos. Las diagonales se intersecan en $E$ , y $P, Q$ son puntos en los lados $AB, CD$ respectivamente tales que $\frac{AP}{PB} = \frac{CQ}{QD}$ . $PQ$ se encuentra con $AC$ y $BD$ en $R,S$ . Demostrar que $(EAB),(ECD),(ERS)$ se encuentran en un punto diferente de $E$ .

Encontrar todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tal que $P(P(x))-x$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}[x]$ .

Dibujando todas las diagonales en un $2013$ - gono regular, el $2013$ - gono regular se divide en polígonos no superpuestos. Pruebe que existe exactamente un $2013$ - gono de todos estos polígonos.

Para un entero positivo $n$ , defina una función $ f_n (x) $ en un intervalo $ [ 0, n+1 ] $ como \[ f_n (x) = ( \sum_{i=1} ^ {n} | x-i | )^2 - \sum_{i=1} ^{n} (x-i)^2 . \] Sea $ a_n $ el valor mínimo de $f_n (x) $. Encuentre el valor de \[ \sum_{n=1}^{11} (-1)^{n+1} a_n . \]

Para todo entero positivo $ n \ge 2 $ , pruebe que $ 2^n -1 $ no puede ser un divisor de $ 3^n -1 $ .

Sea $ABC$ un triángulo y $ P, Q ( \ne A, B, C ) $ son los puntos que se encuentran en los segmentos $ BC , CA $. Sean $ I, J, K $ los incentros de los triángulos $ ABP, APQ, CPQ $. Pruebe que $ PIJK $ es un cuadrilátero convexo.

Sea $ A = \{ 1, 2, 3, \cdots , 12 \} $. Encuentre el número de funciones biyectivas $ f :A \to A $ que satisfacen la siguiente condición: para todo $ i \in A $ , $ f(i)-i $ no es un múltiplo de $ 3 $ .