050 El cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito alrededor del círculo con centro $O$. Demuestre que $$\angle AOB+ \angle COD=180^o. $$

049 Un insecto de la miel se desplaza a lo largo de los panales con una longitud unitaria en sus hexágonos. Se ha movido desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$ a lo largo de la trayectoria más corta posible. Demuestre que la mitad de su camino lo recorrió en una sola dirección.

10 Sea $m$ un entero, $m \ge 2$. Cada estudiante en una escuela practica a lo sumo $m$ pasatiempos. Entre cualesquiera $m$ estudiantes existen dos estudiantes que tienen un pasatiempo en común. Encuentre el número mínimo de estudiantes para el cual debe existir un pasatiempo que sea practicado por al menos $3$ estudiantes.

141 Todos los números de $5$ dígitos desde $11111$ hasta $99999$ están escritos en tarjetas. Dichas tarjetas se colocan en una fila en un orden arbitrario. Demuestre que el número de $444445$ dígitos resultante no es una potencia de dos.

051 Dados los números naturales $a,b,n$. Se sabe que para todo número natural $k$ ($k\ne b$), el número $a-k^n$ es divisible por $b-k$. Demuestre que $$a=b^n$$

008 Dados $n$ puntos, algunos de ellos conectados por segmentos que no se cortan. Se puede llegar a cada punto desde cualquier otro, moviéndose a lo largo de los segmentos, y no existe ningún par conectado por dos caminos diferentes. Demuestre que el número total de segmentos es $(n-1)$.

052 Dada una expresión $$x_1 : x_2 : ... : x_n$$ ( $:$ significa división). Podemos colocar los paréntesis como queramos. ¿Cuántas expresiones podemos obtener?

157 a) Considere la función $$f(x,y) = x^2 + xy + y^2$$. Demuestre que para todo punto $(x,y)$ existen enteros $(m,n)$ tales que $$f((x-m),(y-n)) \le 1/2$$. b) Denotemos con $g(x,y)$ el menor valor posible de $f((x-m),(y-n))$ para todos los enteros $m,n$. La afirmación a) era equivalente al hecho de que $g(x,y) \le 1/2$. Demuestre que, de hecho, $$g(x,y) \le 1/3$$. Encuentre todos los puntos $(x,y)$ donde $g(x,y)=1/3$. c) Considere la función $$f_a(x,y) = x^2 + axy + y^2 \,\,\, (0 \le a \le 2)$$. Encuentre cualquier $c$ tal que $g_a(x,y) \le c$. Intente obtener la estimación más cercana.

046 Encuentre las soluciones enteras $(x,y)$ de la ecuación ( $1964$ veces " $\sqrt{}$ " ): $$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{....\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}=y$$

047 Se trazan cuatro perpendiculares desde los vértices de un cuadrilátero convexo a sus diagonales. Demuestre que sus bases forman un cuadrilátero semejante al dado.