Sean $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funciones con $g(x)=2f(x)+f(x^2),$ para todo $x \in \mathbb{R}.$ a) Demuestre que, si $f$ es acotada en un entorno del origen y $g$ es continua en el origen, entonces $f$ es continua en el origen. b) Proporcione un ejemplo de función $f$ , discontinua en el origen, para la cual la función $g$ es continua en el origen.

Sean $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).$ Consideramos la función $f:\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),$ definida por $f(Z)=AZ+B\overline{Z},$ $Z \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),$ donde $\overline{Z}$ es la matriz cuyas entradas son los conjugados de las entradas correspondientes de $Z.$ Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: $(1)$ la función $f$ es inyectiva; $(2)$ la función $f$ es sobreyectiva; $(3)$ las matrices $A+B$ y $A-B$ son invertibles.

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ una matriz invertible. a) Demuestre que los valores propios de $AA^T$ son números reales positivos. b) Asumimos que hay dos enteros positivos distintos, $p$ y $q$ , tales que $(AA^T)^p=(A^TA)^q.$ Demuestre que $A^T=A^{-1}.$

Sea $I \subset \mathbb{R}$ un intervalo abierto y $f:I \to \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable tal que $f(x)f''(x)=0,$ para todo $x \in I.$ Demuestre que $f''(x)=0,$ para todo $x \in I.$

Consideramos un entero $n \ge 3,$ el conjunto $S=\{1,2,3,\ldots,n\}$ y el conjunto $\mathcal{F}$ de las funciones de $S$ a $S.$ Decimos que $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ es un conjunto generador para $\mathcal{H} \subset \mathcal{F}$ si cualquier función en $\mathcal{H}$ puede representarse como una composición de funciones de $\mathcal{G}.$ a) Sean las funciones $a:S \to S,$ $a(n-1)=n,$ $a(n)=n-1$ y $a(k)=k$ para $k \in S \setminus \{n-1,n\}$ y $b:S \to S,$ $b(n)=1$ y $b(k)=k+1$ para $k \in S \setminus \{n\}.$ Demuestre que $\{a,b\}$ es un conjunto generador para el conjunto $\mathcal{B}$ de funciones biyectivas de $\mathcal{F}.$ b) Demuestre que el número más pequeño de elementos que tiene un conjunto generador de $\mathcal{F}$ es $3.$

Sea $n \ge 2$ un entero positivo y $\mathcal{F}$ el conjunto de funciones $f:\{1,2,\ldots,n\} \to \{1,2,\ldots,n\}$ que satisfacen $f(k) \le f(k+1) \le f(k)+1,$ para todo $k \in \{1,2,\ldots,n-1\}.$ a) Halle el cardinal del conjunto $\mathcal{F}.$ b) Halle el número total de puntos fijos de las funciones en $\mathcal{F}.$

Consideramos el pentágono inscriptible $ABCDE$ en el que $AB=BC=CD$ y el centroide del pentágono coincide con el circuncentro. Demuestre que el pentágono $ABCDE$ es regular. El centroide de un pentágono es el punto en el plano del pentágono cuyo vector de posición es igual al promedio de los vectores de posición de los vértices.

Resuelva sobre los números reales la ecuación $$3^{\log_5(5x-10)}-2=5^{-1+\log_3x}.$$

Sea $a$ un entero positivo dado. Consideramos la sucesión $(x_n)_{n \ge 1}$ definida por $x_n=\frac{1}{1+na},$ para todo entero positivo $n.$ Demuestre que para cualquier entero $k \ge 3,$ existen enteros positivos $n_1<n_2<\ldots<n_k$ tales que los números $x_{n_1},x_{n_2},\ldots,x_{n_k}$ son términos consecutivos en una progresión aritmética.

Sean $a$ y $b$ dos números en el intervalo $(0,1)$ tales que $a$ es racional y $\{na\} \ge \{nb\},$ para todo entero no negativo $n.$ Demuestre que $a=b.$ (Nota: $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x.$)