Determine el valor más bajo posible de la expresión \[ \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a+y} + \frac{1}{b+x} + \frac{1}{b+y} \] donde $a,b,x,$ e $y$ son números reales positivos que satisfacen las desigualdades \[ \frac{1}{a+x} \ge \frac{1}{2} \] \[\frac{1}{a+y} \ge \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{b+x} \ge \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{b+y} \ge 1. \]

Tenemos $ n \geq 2$ lámparas $ L_{1}, . . . ,L_{n}$ en una fila, cada una de ellas estando encendida o apagada. Cada segundo modificamos simultáneamente el estado de cada lámpara de la siguiente manera: si la lámpara $ L_{i}$ y sus vecinos (sólo un vecino para $ i = 1$ o $ i = n$ , dos vecinos para otro $ i$ ) están en el mismo estado, entonces $ L_{i}$ se apaga; – de lo contrario, $ L_{i}$ se enciende. Inicialmente todas las lámparas están apagadas excepto la más a la izquierda que está encendida. $ (a)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales todas las lámparas eventualmente se apagarán. $ (b)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales las lámparas nunca estarán todas apagadas.

Determine el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})| \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\] se cumple para todos los números reales $a$ , $b$ y $c$ .

Llamamos a un entero positivo $q$ un $denominador \quad conveniente$ para un número real $\alpha$ si $\displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q}$ para algún entero $p$. Demuestra que si dos números irracionales $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo conjunto de denominadores convenientes, entonces o bien $\alpha+\beta$ o $\alpha- \beta$ es un entero.

Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ tal que $AB||DE$ , $BC||EF$ , $CD||FA$. Los puntos $M, N, K$ son puntos comunes de las líneas $BD$ y $AE$ , $AC$ y $DF$ , $CE$ y $BF$ respectivamente. Demuestra que las perpendiculares trazadas desde $M, N, K$ a las líneas $AB, CD, EF$ respectivamente son concurrentes.

Encuentra todos los $k>0$ para los cuales existe una función estrictamente decreciente $g:(0;+\infty)\to(0;+\infty)$ tal que $g(x)\geq kg(x+g(x))$ para todo $x$ positivo.

Hay $60$ ciudades en $Graphland$, donde cada par de ciudades están conectadas por un camino dirigido. Demuestra que podemos colorear cuatro ciudades de rojo y cuatro ciudades de verde, tal que cada camino entre las ciudades verdes y rojas estén dirigidas de rojo a verde.

$a_1,a_2,...,a_{100}$ son una permutación de $1,2,...,100$. $S_1=a_1, S_2=a_1+a_2,...,S_{100}=a_1+a_2+...+a_{100}$. Encuentra el máximo número de cuadrados perfectos de $S_i$.

Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo con centro $O$. Sus diagonales se intersecan en $M$. El circuncírculo de $ABM$ interseca los lados $AD$ y $BC$ en $N$ y $K$ respectivamente. Demuestra que las áreas de $NOMD$ y $KOMC$ son iguales.

Dado $\triangle ABC$, sea $R$ su circunradio y $q$ el perímetro de su triángulo excentral. Pruebe que $q\le 6\sqrt{3} R$.