Dado un primo $p$, demuestre que la suma $\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{q}{p} \rfloor}{k^{p-1}}$ no es divisible por $q$ para todos los primos $q$ excepto para un número finito.

Determinar todos los enteros $n \ge 3$ cuya expansión decimal tiene menos de $20$ dígitos, tal que cada no residuo cuadrático módulo $n$ es una raíz primitiva módulo $n$. Un entero $a$ es un no residuo cuadrático módulo $n$, si no existe un entero $b$ tal que $a - b^2$ es divisible por $n$. Un entero $a$ es una raíz primitiva módulo $n$, si para cada entero $b$ relativamente primo con $n$ existe un entero positivo $k$ tal que $a^k - b$ es divisible por $n$.

Comenzamos con cualquier lista finita de enteros positivos distintos. Podemos reemplazar cualquier par $n, n + 1$ (no necesariamente adyacentes en la lista) por el único entero $n-2$ , ahora permitiendo negativos y repeticiones en la lista. También podemos reemplazar cualquier par $n, n + 4$ por $n - 1$ . Podemos repetir estas operaciones tantas veces como queramos. Determine el entero más negativo que puede aparecer en una lista, o demuestre que no existe tal mínimo.

Sea $p > 3$ un número primo, y sea $F_p$ el conjunto (finito) de clases de residuos módulo $p$ . Sea $S_d$ el conjunto de polinomios de $2$ variables $P(x, y)$ con coeficientes en $F_p$ , grado total $\le d$ , y que satisfacen $P(x, y) = P(y,- x -y)$ . Demuestre que $$|S_d| = p^{\lceil (d+1)(d+2)/6 \rceil}$$ . El grado total de un polinomio de $2$ variables $P(x, y)$ es el valor más grande de $i + j$ entre los monomios $x^iy^j$ que aparecen en $P$ .

En un triángulo $ABC$ , la altura desde $A$ se encuentra con la circunferencia circunscrita nuevamente en $T$ . Sea $O$ el circuncentro. Las líneas $OA$ y $OT$ intersecan el lado $BC$ en $Q$ y $M$ , respectivamente. Demuestra que \[\frac{S_{AQC}}{S_{CMT}} = \biggl( \frac{ \sin B}{\cos C} \biggr)^2 .\]

Cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ se encuentran en un círculo $\omega$ tal que $AB=BC=CD$. La línea tangente a $\omega$ en el punto $C$ interseca la línea tangente a $\omega$ en $A$ y la línea $AD$ en $K$ y $L$. El círculo $\omega$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $KLA$ se intersectan nuevamente en $M$. Demuestra que $MA=ML$.

Un cargador tiene dos carritos. Uno de ellos puede transportar hasta 8 kg, y otro puede transportar hasta 9 kg. Un número finito de sacos con arena yacen en un almacén. Se sabe que su peso total es más de 17 kg, mientras que cada saco pesa no más de 1 kg. ¿Qué peso máximo de arena puede transportar el cargador en sus dos carritos, independientemente de los pesos particulares de los sacos?

En un triángulo rectángulo $ ABC$, sea $ AD$ la altura trazada a la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ interseca los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K,L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, muestra que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

Muestra que el conjunto solución de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, la suma de cuya longitud es 1988.

Considera 2 círculos concéntricos de radios $ R$ y $ r$ ( $ R > r$ ) con centro $ O.$ Fija $ P$ en el círculo pequeño y considera la cuerda variable $ PA$ del círculo pequeño. Los puntos $ B$ y $ C$ se encuentran en el círculo grande; $ B,P,C$ son colineales y $ BC$ es perpendicular a $ AP.$ i.) ¿Para qué valores de $ \angle OPA$ la suma $ BC^2 + CA^2 + AB^2$ es extremal? ii.) ¿Cuáles son las posiciones posibles de los puntos medios $ U$ de $ BA$ y $ V$ de $ AC$ cuando $ \angle OPA$ varía?