Encuentra el número de pares $(a, b)$ de enteros positivos con la propiedad de que el máximo común divisor de $a$ y $b$ es igual a $1\cdot 2 \cdot 3\cdot ... \cdot50$, y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ es $1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2\cdot ... \cdot 50^2$.

Sean los números $x_i \in \{-1, 1\}$ dados para $i = 1, 2,..., n$, que satisfacen $$x_1x_2 + x_2x_3 +... + x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0.$$ Demuestra que $n$ es divisible por $4$.

Considera un trapecio $ABCD$ con bases $AB$ y $CD$ que satisfacen $|AB| > |CD|$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea el punto $P$ dentro de $ABCD$ tal que $|AD| = |PC|$ y $|BC| = |PD|$. Demuestra que si $| \angle CMD | = 90^o$, entonces los cuadriláteros $AMPD$ y $BMPC$ tienen la misma área.

Se da un heptágono regular $ABCDEFG$. Las líneas $AB$ y $CE$ se intersecan en $P$. Encuentra la medida del ángulo $\angle PDG$.

Encuentra el valor más pequeño que toma la expresión $x^4 + y^4 - x^2y - xy^2$, para números positivos $x$ e $y$ que satisfacen $x + y \le 1$.

Una cruz es la figura compuesta por $6$ cuadrados unitarios que se muestra a continuación (y cualquier figura hecha de ella por rotación). Encuentra el mayor número de cruces que se pueden cortar de una hoja de papel dividida de $6 \times 11$ en cuadrados unitarios (de tal manera que cada cruz conste de seis de tales cuadrados).

Se te da un arreglo de $2 \times 2$ con un entero positivo en cada campo. Si sumamos el producto de los números en la primera columna, el producto de los números en la segunda columna, el producto de los números en la primera fila y el producto de los números en la segunda fila, obtenemos $2021$. a) Encuentra los valores posibles para la suma de los cuatro números en la tabla. b) Encuentra el número de arreglos distintos que satisfacen las condiciones dadas que contienen cuatro números distintos por pares en los arreglos.

Cuatro segmentos dividen un cuadrilátero convexo en nueve cuadriláteros. Los puntos de intersección de estos segmentos se encuentran en las diagonales del cuadrilátero (ver figura). Se sabe que los cuadriláteros 1, 2, 3, 4 admiten círculos inscritos. Demuestre que el cuadrilátero 5 también tiene un círculo inscrito.

Sea $U=\{1, 2,\ldots, 2014\}$ . Para enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ denotamos por $f(a, b, c)$ el número de 6-tuplas ordenadas de conjuntos $(X_1,X_2,X_3,Y_1,Y_2,Y_3)$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $Y_1 \subseteq X_1 \subseteq U$ y $|X_1|=a$ ; (ii) $Y_2 \subseteq X_2 \subseteq U\setminus Y_1$ y $|X_2|=b$ ; (iii) $Y_3 \subseteq X_3 \subseteq U\setminus (Y_1\cup Y_2)$ y $|X_3|=c$ . Demuestre que $f(a,b,c)$ no cambia cuando $a$ , $b$ , $c$ se reordenan.

¿Existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes integrales tal que $P(1+\sqrt 3) = 2+\sqrt 3$ y $P(3+\sqrt 5) = 3+\sqrt 5 $ ?