Demuestra que, entre $100000$ enteros positivos consecutivos de $100$ dígitos, hay un entero $n$ tal que la longitud del período de la expansión decimal de $\frac1n$ es mayor que $2011$.

Una circunferencia exinscrita del triángulo $ABC$ toca el lado $AB$ en $P$ y las extensiones de los lados $AC$ y $BC$ en $Q$ y $R$ , respectivamente. Demuestra que si el punto medio de $PQ$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$ , entonces el punto medio de $PR$ también se encuentra en esa circunferencia.

¿De cuántas maneras se puede quitar un cuadrado de $11\times11$ de un cuadrado de $2011\times2011$ para que la parte restante pueda ser cubierta con dominós (rectángulos de $1\times 2$)?

Niños rojos, azules y verdes están dispuestos en un círculo. Cuando una maestra les pidió a los niños rojos que tienen un vecino verde que levantaran la mano, $20$ niños levantaron la mano. Cuando les preguntó a los niños azules que tienen un vecino verde que levantaran la mano, $25$ niños levantaron la mano. Demuestra que algún niño que levantó la mano tenía dos vecinos verdes.

Dado un conjunto finito de puntos en el plano, cada uno con coordenadas enteras, ¿es siempre posible colorear los puntos de rojo o blanco de modo que para cualquier línea recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas la diferencia (en valor absoluto) entre el número de puntos blancos y rojos en $L$ no sea mayor que $1$?

Hallar todas las funciones $f$ definidas en los reales no negativos y que toman valores reales no negativos tales que: $f(2) = 0, f(x) \ne 0$ para $0 \le x < 2$, y $f(xf(y))f(y) = f(x + y)$ para todo $x, y$.

Sean $A, B$ vértices adyacentes de un $n$-gono regular ($n \ge 5$) con centro $O$. Un triángulo $XYZ$, que es congruente e inicialmente coincide con $OAB$, se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan todo el borde del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Encontrar el lugar geométrico de $X$.

Sea $s(n)$ denote la suma de los dígitos de un entero positivo $n$. Usando seis dígitos diferentes, formamos tres números de 2 dígitos $p, q, r$ tales que $$p \cdot q \cdot s(r) = p\cdot s(q) \cdot r = s (p) \cdot q \cdot r.$$ Encuentra todos esos números $p, q, r$.

Encuentra todos los tres números reales $(x, y, z)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}$$ $$x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx + 4$$

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ con la propiedad de que en el conjunto $\{70, 71, 72,... 70 + n\}$ puedes elegir dos números diferentes cuyo producto es el cuadrado de un entero.