Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $ AD = BC + EF$ , $ BE = AF + CD$ , $ CF = DE + AB$ . Pruebe que: \[ \frac {AB}{DE} = \frac {CD}{AF} = \frac {EF}{BC}.\n\]

Sean $ a,b,c,d$ números reales con suma 0. Demuestre la desigualdad: \[ (ab + ac + ad + bc + bd + cd)^2 + 12\geq 6(abc + abd + acd + bcd).\n\]

En una pila tienes 100 piedras. Una partición de la pila en $ k$ pilas es buena si: 1) las pilas pequeñas tienen diferentes números de piedras; 2) para cualquier partición de una de las pilas pequeñas en 2 pilas más pequeñas, entre las $ k + 1$ pilas obtienes 2 con el mismo número de piedras (cualquier pila tiene al menos 1 piedra). Encuentra los valores máximos y mínimos de $ k$ para los cuales esto es posible.

Determine el número máximo $h$ que satisface la siguiente condición: para cada $a\in [0,h]$ y cada polinomio $P(x)$ de grado 99 tal que $P(0)=P(1)=0$, existen $x_1,x_2\in [0,1]$ tales que $P(x_1)=P(x_2)$ y $x_2-x_1=a$. Propuesto por F. Petrov, D. Rostovsky, A. Khrabrov

Se da un triángulo $ABC$. Sea $B_1$ la reflexión de $B$ a través de la línea $AC$, $C_1$ la reflexión de $C$ a través de la línea $AB$, y $O_1$ la reflexión del circuncentro de $ABC$ a través de la línea $BC$. Demuestre que el circuncentro de $AB_1C_1$ se encuentra en la línea $AO_1$. Propuesto por A. Akopyan

Una disposición de fichas en los cuadrados de una tabla de $n\times n$ se llama dispersa si cada cuadrado de $2\times 2$ contiene como máximo 3 fichas. Serge colocó fichas en algunos cuadrados de la tabla (una en un cuadrado) y obtuvo una disposición dispersa. Sin embargo, notó que si alguna ficha se mueve a cualquier cuadrado libre, la disposición ya no es dispersa. ¿Para qué $n$ es esto posible? Propuesto por S. Berlov

Un mago le pidió a un espectador que pensara en un número de tres dígitos $ \overline{abc}$ y luego que le dijera la suma de los números $ \overline{acb}$, $ \overline{bac}$, $ \overline{bca}$, $ \overline{cab}$ y $ \overline{cba}$. Afirma que cuando conoce esta suma puede determinar el número original. ¿Es eso cierto?

La suma de varios números no negativos no es mayor que 200, mientras que la suma de sus cuadrados no es menor que 2500. Demuestre que entre ellos hay cuatro números cuya suma no es menor que 50. Propuesto por A. Khabrov

Una disposición de fichas en los cuadrados de una tabla de $n\times n$ se llama dispersa si cada cuadrado de $2\times 2$ contiene como máximo 3 fichas. Serge colocó fichas en algunos cuadrados de la tabla (una en un cuadrado) y obtuvo una disposición dispersa. Sin embargo, notó que si alguna ficha se mueve a cualquier cuadrado libre, la disposición ya no es dispersa. ¿Para qué $n$ es esto posible? Propuesto por S. Berlov

$M$ es el punto medio de la base $BC$ en un trapecio $ABCD$. Se elige un punto $P$ en la base $AD$. La línea $PM$ se encuentra con la línea $CD$ en un punto $Q$ tal que $C$ se encuentra entre $Q$ y $D$. La perpendicular a las bases trazada a través de $P$ se encuentra con la línea $BQ$ en $K$. Demuestre que $ \angle QBC = \angle KDA$. Propuesto por S. Berlov