Olimpiada Tuymaada Junior 2015 Problema 7
$CL$ es la bisectriz de $\angle C$ de $ABC$ e interseca a la circunferencia circunscrita en $K$. $I$ es el incentro de $ABC$. $IL=LK$. Demuestra que $CI=IK$.
Olimpiada Tuymaada Junior 2015 Problema 5
Hay un número natural $n>1$ en la pizarra. La operación consiste en sumar al número en la pizarra su máximo divisor no trivial. Demuestra que después de algunas operaciones obtenemos un número que es divisible por $3^{2000}$.
Olimpiada Tuymaada Junior 2015 Problema 3
$D$ es el punto medio de $AC$ para $\triangle ABC$. Las bisectrices de $\angle ACB, \angle ABD$ son perpendiculares. Encuentra el valor máximo para $\angle BAC$.
Olimpiada Tuymaada 2015 Problema 8
Hay $\frac{k(k+1)}{2}+1$ puntos en los planos, algunos están conectados por segmentos disjuntos (también un punto no puede estar en un segmento que conecta otros dos puntos). Es cierto que el plano está dividido en algunos paralelogramos y una región infinita. ¿Cuál es el número máximo de segmentos que se pueden dibujar?
Olimpiada Tuymaada 2015 Problema 7
En $\triangle ABC$ los puntos $M,O$ son el punto medio de $AB$ y el circuncentro. Es cierto que $OM=R-r$. La bisectriz del $\angle A$ externo intersecta a $BC$ en $D$ y la bisectriz del $\angle C$ externo intersecta a $AB$ en $E$. Encuentra los valores posibles de $\angle CED$.
Olimpiada Tuymaada 2015 Problema 6
Sean $0 \leq b \leq c \leq d \leq a$ y $a>14$ enteros. Demuestra que existe un $n$ natural tal que no puede ser representado como $$n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$$ donde $x,y,z$ son algunos enteros.
Olimpiada Tuymaada 2015 Problema 5
Hay un número natural $n>1$ en la pizarra. La operación consiste en sumar al número en la pizarra su máximo divisor no trivial. Demuestra que después de algunas operaciones obtenemos un número que es divisible por $3^{2000}$.
Olimpiada Tuymaada 2015 Problema 4
Sea $n!=ab^2$ donde $a$ está libre de cuadrados. Demuestra que para cada $\epsilon>0$ para cada $n$ suficientemente grande es cierto que $$2^{(1-\epsilon)n}<a<2^{(1+\epsilon)n}$$
Olimpiada Tuymaada 2015 Problema 3
$P(x,y)$ es un polinomio con coeficientes reales y $P(x+2y,x+y)=P(x,y)$. Demuestra que existe un polinomio $Q(t)$ tal que $P(x,y)=Q((x^2-2y^2)^2)$.
Olimpiada Tuymaada 2015 Problema 2
$D$ es el punto medio de $AC$ para $\triangle ABC$. Las bisectrices de $\angle ACB, \angle ABD$ son perpendiculares. Encuentra el valor máximo para $\angle BAC$.