Determina todas las ternas $(m , n , p)$ que satisfacen : \[n^{2p}=m^2+n^2+p+1\] donde $m$ y $n$ son enteros y $p$ es un número primo.

Descifra la igualdad : \[(\overline{VER}-\overline{IA})=G^{R^E} (\overline {GRE}+\overline{ECE}) \] asumiendo que el número $\overline {GREECE}$ tiene un valor máximo . Cada letra corresponde a un dígito único de $0$ a $9$ y letras diferentes corresponden a dígitos diferentes . También se supone que todas las letras $G$ , $E$ , $V$ y $I$ son diferentes de $0$ .

¿Existen números primos $p$ y $q$ tales que $p^2(p^3-1)=q(q+1)$ ?

Si $a$ , $b$ son enteros y $s=a^3+b^3-60ab(a+b)\geq 2012$ , encuentra el menor valor posible de $s$ .

Para $m = 1, 2, 3, ...$ denotar $S(m)$ la suma de los dígitos de $m$ , y sea $f(m)=m+S(m)$ . Muestre que para cada entero positivo $n$ , existe un número que aparece exactamente $n$ veces en la secuencia $f(1),f(2),...,f(m),...$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con centroide $G$ , la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a $AC$ en $D$ . Sean $P$ y $Q$ puntos en $BD$ donde $\angle PBA = \angle PAB$ y $\angle QBC = \angle QCB$ . Sea $M$ el punto medio de $QP$ , sea $N$ un punto en la línea $GM$ tal que $GN = 2GM$ ( donde $G$ es el segmento $MN$ ) , demuestre que: $\angle ANC + \angle ABC = 180$

Hallar todas las funciones $f: R \to R$ tales que, para cualquier $x, y \in R$ : $f\left( f\left( x \right)-y \right)\cdot f\left( x+f\left( y \right) \right)={{x}^{2}}-{{y}^{2}}$

Demostrar que para cada entero positivo $n$ , existe un entero positivo $k$ tal que la representación decimal de cada uno de los números $k, 2k,\ldots, nk$ contiene todos los dígitos $0, 1, 2,\ldots, 9$ .

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo que satisface todo lo siguiente: Hay un círculo $\Gamma$ tangente a cada uno de los lados. Las longitudes de los lados son todos enteros positivos. Al menos uno de los lados del pentágono tiene longitud $1$ . El lado $AB$ tiene longitud $2$ . Sea $P$ el punto de tangencia de $\Gamma$ con $AB$ . (a) Determinar las longitudes de los segmentos $AP$ y $BP$ . (b) Dar un ejemplo de un pentágono que satisfaga las condiciones dadas.

Algunas celdas de una tabla de $2007\times 2007$ están coloreadas. La tabla es charrúa si ninguna de las filas y ninguna de las columnas están completamente coloreadas. (a) ¿Cuál es el número máximo $k$ de celdas coloreadas que puede tener una tabla charrúa? (b) Para tal $k$ , calcular el número de tablas charrúas distintas que existen.