En el entrenamiento de fútbol había $n$ futbolistas: delanteros y porteros. Hicieron $k$ goles. Demuestra que el entrenador principal puede dar a cada futbolista un número de equipo del $1$ al $n$ tal que, para cada gol, la diferencia entre el número de equipo del delantero y el número de equipo del portero es mayor que $n-k$.

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Demostrar que el entero \[a^2+\left\lceil\frac{4a^2}b\right\rceil\] no es un cuadrado. (Aquí $\lceil z\rceil$ denota el menor entero mayor o igual que $z$ . )

Encuentra todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que $a^3 + b^3 + c^3 = (abc)^2$.

Sea $\mathcal L$ el conjunto de todas las líneas en el plano y sea $f$ una función que asigna a cada línea $\ell\in\mathcal L$ un punto $f(\ell)$ en $\ell$ . Suponga que para cualquier punto $X$ , y para cualesquiera tres líneas $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ que pasan por $X$ , los puntos $f(\ell_1),f(\ell_2),f(\ell_3)$ , y $X$ se encuentran en un círculo. Demuestra que existe un único punto $P$ tal que $f(\ell)=P$ para cualquier línea $\ell$ que pasa por $P$.

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. La circunferencia inscrita $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC, CA$ , y $AB$ en $D, E,$ y $F$ , respectivamente. La línea que pasa por $D$ perpendicular a $EF$ se encuentra con $\omega$ en $R$ . La línea $AR$ se encuentra con $\omega$ de nuevo en $P$ . Las circunferencias circunscritas del triángulo $PCE$ y $PBF$ se encuentran de nuevo en $Q$ . Demuestra que las líneas $DI$ y $PQ$ se encuentran en la línea que pasa por $A$ perpendicular a $AI$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con $CD= DE$ y $\angle EDC \ne 2 \cdot \angle ADB$. Suponga que un punto $P$ está situado en el interior del pentágono tal que $AP =AE$ y $BP= BC$. Demostrar que $P$ está en la diagonal $CE$ si y sólo si area $(BCD)$ + area $(ADE)$ = area $(ABD)$ + area $(ABP)$.

Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$. Sea $AP$ que se encuentra con $BC$ en $A_1$, sea $BP$ que se encuentra con $CA$ en $B_1$, y sea $CP$ que se encuentra con $AB$ en $C_1$. Sea $A_2$ el punto tal que $A_1$ es el punto medio de $PA_2$, sea $B_2$ el punto tal que $B_1$ es el punto medio de $PB_2$, y sea $C_2$ el punto tal que $C_1$ es el punto medio de $PC_2$. Demostrar que los puntos $A_2, B_2$ y $C_2$ no pueden estar todos estrictamente dentro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A, B$ y $C$ a los lados $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. Denotemos por $\omega_B$ y $\omega_C$ las circunferencias inscritas de los triángulos $BDF$ y $CDE$, y sean estas circunferencias tangentes a los segmentos $DF$ y $DE$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sea la recta $MN$ que se encuentra con las circunferencias $\omega_B$ y $\omega_C$ de nuevo en $P \ne M$ y $Q \ne N$, respectivamente. Demostrar que $MP = NQ$.

Sea $n>1$ un entero. Supongamos que se nos dan $2n$ puntos en el plano tal que no hay tres de ellos colineales. Los puntos deben ser etiquetados $A_1, A_2, \dots , A_{2n}$ en algún orden. Luego consideramos los $2n$ ángulos $\angle A_1A_2A_3, \angle A_2A_3A_4, \dots , \angle A_{2n-2}A_{2n-1}A_{2n}, \angle A_{2n-1}A_{2n}A_1, \angle A_{2n}A_1A_2$. Medimos cada ángulo de la forma que da el valor positivo más pequeño (i.e. entre $0^{\circ}$ y $180^{\circ}$). Demuestra que existe un ordenamiento de los puntos dados tal que los $2n$ ángulos resultantes se puedan separar en dos grupos con la suma de un grupo de ángulos igual a la suma del otro grupo.

Una red social tiene $2019$ usuarios, algunos pares de los cuales son amigos. Siempre que el usuario $A$ es amigo del usuario $B$, el usuario $B$ también es amigo del usuario $A$. Eventos del siguiente tipo pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez: Tres usuarios $A$, $B$ y $C$ tal que $A$ es amigo tanto de $B$ como de $C$, pero $B$ y $C$ no son amigos, cambian sus estados de amistad tal que $B$ y $C$ son ahora amigos, pero $A$ ya no es amigo de $B$ y ya no es amigo de $C$. Todos los demás estados de amistad se mantienen sin cambios. Inicialmente, $1010$ usuarios tienen $1009$ amigos cada uno, y $1009$ usuarios tienen $1010$ amigos cada uno. Demuestra que existe una secuencia de tales eventos después de que cada usuario es amigo de a lo sumo otro usuario.