Sea ${AB}$ una cuerda de un círculo ${(c)}$ centrado en ${O}$, y sea ${K}$ un punto en el segmento ${AB}$ tal que ${AK<BK}$. Dos círculos que pasan por ${K}$, internamente tangentes a ${(c)}$ en ${A}$ y ${B}$, respectivamente, se encuentran nuevamente en ${L}$. Sea ${P}$ uno de los puntos de intersección de la recta ${KL}$ y el círculo ${(c)}$, y sean las rectas ${AB}$ y ${LO}$ que se encuentran en ${M}$. Demuestre que la recta ${MP}$ es tangente al círculo ${(c)}$.

Dado un triángulo agudo ${ABC}$, construya triángulos ${ABD}$ y ${ACE}$ externamente, de modo que ${\angle ADB= \angle AEC=90^o}$ y ${\angle BAD= \angle CAE}$. Sean ${{A}_{1}}\in BC,{{B}_{1}}\in AC$ y ${{C}_{1}}\in AB$ los pies de las alturas del triángulo ${ABC}$, y sean $K$ y ${K,L}$ los puntos medios de $[ B{{C}_{1}} ]$ y ${BC_1, CB_1}$, respectivamente. Demuestre que los circuncentros de los triángulos $AKL,{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ y ${DEA_1}$ son colineales. (Bulgaria)

Una tabla de $5 \times 5$ se llama regular si cada una de sus celdas contiene uno de cuatro números reales distintos por parejas, de tal manera que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada subtabla de $2 \times 2$. La suma de todos los números de una tabla regular se llama la suma total de la tabla. Con cuatro números cualesquiera, uno construye todas las tablas regulares posibles, calcula sus sumas totales y cuenta los resultados distintos. Determine el conteo máximo posible.

Los números naturales del $1$ al $50$ están escritos en la pizarra. ¿Al menos cuántos de ellos deben ser borrados para que la suma de dos cualesquiera de los números restantes no sea un número primo?

Sea $S_n$ la suma de los valores recíprocos de los dígitos distintos de cero de todos los enteros positivos hasta (e incluyendo) $n$. Por ejemplo, $S_{13} = \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{9}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{3}$ . Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ que haga que el número $k!\cdot S_{2016}$ sea un entero.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro ${H}$ y circuncentro ${O}$. Suponga que el circuncentro ${X}$ de ${BHC}$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de ${ABC}$. Refleje $O$ a través de ${X}$ para obtener ${O'}$, y sean las rectas ${XH}$ y ${O'A}$ que se intersecan en ${K}$. Sean $L,M$ y $N$ los puntos medios de $\left[ XB \right]$,$\left[ XC \right]$ y $\left[ BC \right]$, respectivamente. Demuestre que los puntos $K,L,M$ y ${N}$ son concíclicos.

Sea ${ABC}$ un triángulo acutángulo cuyo lado más corto es ${BC}$. Considere un punto variable ${P}$ en el lado ${BC}$, y sean ${D}$ y ${E}$ puntos en ${AB}$ y ${AC}$, respectivamente, tales que ${BD=BP}$ y ${CP=CE}$. Demuestre que, cuando ${P}$ recorre ${BC}$, la circunferencia circunscrita del triángulo ${ADE}$ pasa por un punto fijo.

Un trapecio $ABCD$ ( $AB || CF$ , $AB > CD$ ) está circunscrito. El incírculo del triángulo $ABC$ toca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Pruebe que el incentro del trapecio $ABCD$ se encuentra en la línea $MN$.

Sea ${ABC}$ un triángulo con $\angle BAC={{60}^{{}^\circ }}$ . Sean $D$ y $E$ los pies de las perpendiculares desde ${A}$ a las bisectrices del ángulo externo de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ , respectivamente. Sea ${O}$ el circuncentro del triángulo ${ABC}$ . Pruebe que las circunferencias circunscritas de los triángulos ${ADE}$ y ${BOC}$ son tangentes entre sí.

Sea ${ABC}$ un triángulo acutángulo, sea ${O}$ su circuncentro, y sean ${D,E,F}$ puntos en los lados ${BC,CA,AB}$ , respectivamente. El círculo ${(c_1)}$ de radio ${FA}$ , centrado en ${F}$ , cruza el segmento ${OA}$ en ${A'}$ y la circunferencia circunscrita ${(c)}$ del triángulo ${ABC}$ nuevamente en ${K}$ . Similarmente, el círculo ${(c_2)}$ de radio $DB$ , centrado en $D$ , cruza el segmento $\left( OB \right)$ en ${B}'$ y el círculo ${(c)}$ nuevamente en ${L}$ . Finalmente, el círculo ${(c_3)}$ de radio $EC$ , centrado en $E$ , cruza el segmento $\left( OC \right)$ en ${C}'$ y el círculo ${(c)}$ nuevamente en ${M}$ . Pruebe que los cuadriláteros $BKF{A}',CLD{B}'$ y $AME{C}'$ son todos cíclicos, y sus circunferencias circunscritas comparten un punto común.