Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes racionales, de grado $d \ge 2$ , definimos la secuencia de conjuntos $f^0(\mathbb{Q}), f^1(\mathbb{Q}), \ldots$ como $f^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ , $f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^{n}(\mathbb{Q}))$ para $n\ge 0$ . (Dado un conjunto $S$ , escribimos $f(S)$ para el conjunto $\{f(x)\mid x\in S\})$ . Sea $f^{\omega}(\mathbb{Q})=\bigcap_{n=0}^{\infty} f^n(\mathbb{Q})$ el conjunto de números que están en todos los conjuntos $f^n(\mathbb{Q})$ , $n\geq 0$ . Demostrar que $f^{\omega}(\mathbb{Q})$ es un conjunto finito.

Sea $n$ un entero positivo dado. Se dice que un conjunto $K$ de puntos con coordenadas enteras en el plano está conectado si para cada par de puntos $R, S\in K$ , existe un entero positivo $\ell$ y una secuencia $R=T_0,T_1, T_2,\ldots ,T_{\ell}=S$ de puntos en $K$ , donde cada $T_i$ está a distancia $1$ de $T_{i+1}$ . Para tal conjunto $K$ , definimos el conjunto de vectores \[\Delta(K)=\{\overrightarrow{RS}\mid R, S\in K\}\] ¿Cuál es el valor máximo de $|\Delta(K)|$ sobre todos los conjuntos conectados $K$ de $2n+1$ puntos con coordenadas enteras en el plano?

Determinar si existe un polinomio $f(x_1, x_2)$ con dos variables, con coeficientes enteros, y dos puntos $A=(a_1, a_2)$ y $B=(b_1, b_2)$ en el plano, satisfaciendo las siguientes condiciones: \n(i) $A$ es un punto entero (es decir, $a_1$ y $a_2$ son enteros); \n(ii) $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|=2010$ ; \n(iii) $f(n_1, n_2)>f(a_1, a_2)$ para todos los puntos enteros $(n_1, n_2)$ en el plano distintos de $A$ ; \n(iv) $f(x_1, x_2)>f(b_1, b_2)$ para todos los puntos enteros $(x_1, x_2)$ en el plano distintos de $B$ .

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero sin ningún par de lados paralelos. Para cada $i=1, 2, 3, 4$ , defina $\omega_1$ como el círculo que toca el cuadrilátero externamente, y que es tangente a las líneas $A_{i-1}A_i, A_iA_{i+1}$ y $A_{i+1}A_{i+2}$ (los índices se consideran módulo $4$ de modo que $A_0=A_4, A_5=A_1$ y $A_6=A_2$ ) . Sea $T_i$ el punto de tangencia de $\omega_i$ con el lado $A_iA_{i+1}$ . Demostrar que las líneas $A_1A_2, A_3A_4$ y $T_2T_4$ son concurrentes si y sólo si las líneas $A_2A_3, A_4A_1$ y $T_1T_3$ son concurrentes.

Para cada entero positivo $n$ , encontrar el mayor número real $C_n$ con la siguiente propiedad. Dado cualquier $n$ funciones con valores reales $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ definidas en el intervalo cerrado $0 \le x \le 1$ , uno puede encontrar números $x_1, x_2, \cdots x_n$ , tal que $0 \le x_i \le 1$ satisfaciendo \[|f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots f_n(x_n)-x_1x_2\cdots x_n| \ge C_n\]

Para un conjunto finito no vacío de primos $P$ , sea $m(P)$ el mayor número posible de enteros positivos consecutivos, cada uno de los cuales es divisible por al menos un miembro de $P$ . \n(i) Demostrar que $|P|\le m(P)$ , con igualdad si y sólo si $\min(P)>|P|$ . \n(ii) Demostrar que $m(P)<(|P|+1)(2^{|P|}-1)$ . (El número $|P|$ es el tamaño del conjunto $P$ )

Para un entero $n \geq 3$ definimos la secuencia $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ como la secuencia de exponentes en la factorización prima de $n! = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \ldots p_k^{\alpha_k}$, donde $p_1 < p_2 < \ldots < p_k$ son primos. Determine todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ es una progresión geométrica.

Determine todos los enteros $n \geq 2$ tales que existe una permutación $x_0, x_1, \ldots, x_{n - 1}$ de los números $0, 1, \ldots, n - 1$ con la propiedad de que los $n$ números $$x_0, \hspace{0.3cm} x_0 + x_1, \hspace{0.3cm} \ldots, \hspace{0.3cm} x_0 + x_1 + \ldots + x_{n - 1}$$ son distintos por pares módulo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$, circuncentro $O$ y circuncírculo $\Gamma$. Sean las tangentes a $\Gamma$ en $B$ y $C$ que se encuentran en $D$, y sea la línea $AO$ que intersecta a $BC$ en $E$. Denotemos el punto medio de $BC$ por $M$ y sea $AM$ que encuentra a $\Gamma$ nuevamente en $N \neq A$. Finalmente, sea $F \neq A$ un punto en $\Gamma$ tal que $A, M, E$ y $F$ son concíclicos. Demuestre que $FN$ biseca el segmento $MD$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$ y circuncírculo $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio del arco más corto $BC$ de $\Gamma$, y sea $D$ la intersección de los rayos $AC$ y $BM$. Sea $E \neq C$ la intersección de la bisectriz interna del ángulo $ACB$ y el circuncírculo del triángulo $BDC$. Asumamos que $E$ está dentro del triángulo $ABC$ y que hay una intersección $N$ de la línea $DE$ y el círculo $\Gamma$ tal que $E$ es el punto medio del segmento $DN$. Muestre que $N$ es el punto medio del segmento $I_B I_C$, donde $I_B$ e $I_C$ son los excentros de $ABC$ opuestos a $B$ y $C$, respectivamente.