Sea $ABCDE$ un pentágono cíclico tal que $BC = DE$ y $AB$ es paralelo a $DE$ . Sean $X, Y,$ y $Z$ los puntos medios de $BD, CE,$ y $AE$ respectivamente. Demuestra que $AE$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $XYZ$ .

Sea $n \ge 2$ un entero. En cada celda de una tabla de $4n \times 4n$ escribimos la suma del índice de la fila de la celda y el índice de la columna de la celda. Inicialmente, ninguna celda está coloreada. Un movimiento consiste en elegir dos celdas que no están coloreadas y colorear una de ellas en rojo y una de ellas en azul. Demuestra que, sin embargo, Alex realiza $n^2$ movimientos, Jane puede después realizar una cantidad de movimientos (eventualmente ninguno) después de lo cual la suma de los números escritos en las celdas rojas es la misma que la suma de los números escritos en las azules.

Sea $S$ un conjunto finito de puntos en el plano, tal que para cada 2 puntos $A$ y $B$ en $S$ , el segmento $AB$ es un lado de un polígono regular todos cuyos vértices están contenidos en $S$ . Encuentra todos los valores posibles para el número de elementos de $S$ .

Los números $2, 2, ..., 2$ están escritos en una pizarra (el número $2$ se repite $n$ veces). Un paso consiste en elegir dos números de la pizarra, denotándolos como $a$ y $b$, y reemplazándolos con $\sqrt{\frac{ab + 1}{2}}$. $(a)$ Si $x$ es el número que queda en la pizarra después de $n - 1$ aplicaciones de la operación anterior, demuestre que $x \ge \sqrt{\frac{n + 3}{n}}$. $(b)$ Demuestre que hay infinitos números para los cuales se cumple la igualdad e infinitos para los cuales la desigualdad es estricta.

Suponga que $a, b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $$a + b + c \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$ Encuentra el valor más grande posible de la expresión $$\frac{a + b - c}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{b + c - a}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{c + a - b}{c^3 + a^3 + abc}.$$

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $$11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$$\n

Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CD$ es paralelo a la línea tangente a $\Gamma$ en $A$ . Sea $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$ , y $F$ la intersección de $BC$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ADC$ distinta de $C$ . Finalmente, sea $G$ la intersección de la línea $AB$ y la bisectriz interna de $\angle DCF$ . Demuestra que $E,\ G,\ F$ y $C$ se encuentran en el mismo círculo.

Pruebe que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros $x,y$ , entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demuestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$ .

Considera un triángulo acutángulo $ABC$ de área $S$. Sea $CD \perp AB$ ($D \in AB$), $DM \perp AC$ ($M \in AC$) y $DN \perp BC$ ($N \in BC$). Denotemos por $H_1$ y $H_2$ a los ortocentros de los triángulos $MNC$, respectivamente $MND$. Encuentra el área del cuadrilátero $AH_1BH_2$ en términos de $S$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sus diagonales tienen un punto común $M$. Se sabe que los circuncentros de los triángulos $MAB,MBC,MCD,MDE,MEF,MFA$ se encuentran en un círculo. Demuestre que los cuadriláteros $ABDE,BCEF,CDFA$ tienen áreas iguales.